ABC eşkenar üçgen
[BK] \cap [DF] = \{E\}
|AK| = |KC|
|AD| = 4 birim
|BE| = 12 birim
m(widehat{BEF}) = 105^\circ
Buna göre, |AK| kaç birimdir?
A) 6\sqrt{3}
B) 8
C) 6
D) 4
E) 3
Eşkenar Üçgende Açıortay ve İkizkenar Üçgen Özellikleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Eşkenar üçgende bir kenara ait kenarortay aynı zamanda açıortay ve yüksekliktir (m(\widehat{B}) = 60^\circ olup kenarortay bu açıyı 30^\circ - 30^\circ böler). İki iç açısı eşit olan üçgenler ise ikizkenardır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — BK Doğru Parçasının Açıortay Özelliği
ABC eşkenar üçgeninde |AK| = |KC| olduğundan [BK] kenarortaydır. Eşkenar üçgende kenarortay aynı zamanda açıortay olduğundan:
m(\widehat{ABK}) = m(\widehat{KBC}) = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ
Adım 2 — \triangle BDE Üçgeninde Açıların Hesaplanması
D, E, F noktaları doğrusal olduğundan \widehat{BED} ve \widehat{BEF} bütünler açılardır:
m(\widehat{BED}) = 180^\circ - m(\widehat{BEF}) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ
\triangle BDE üçgeninin iç açıları toplamından m(\widehat{BDE}) açısını bulalım (m(\widehat{DBE}) = 30^\circ):
m(\widehat{BDE}) = 180^\circ - (30^\circ + 75^\circ) = 75^\circ
Adım 3 — İkizkenar Üçgen Yardımıyla Kenar Uzunluğunu Bulma
m(\widehat{BDE}) = m(\widehat{BED}) = 75^\circ olduğundan \triangle BDE ikizkenar üçgendir ve |BD| = |BE| olur.
|BE| = 12\text{ birim} \implies |BD| = 12\text{ birim}
Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu |AB|:
|AB| = |AD| + |BD| = 4 + 12 = 16\text{ birim}
Adım 4 — |AK| Uzunluğunun Hesaplanması
|AC| = |AB| = 16 birimdir. K noktası [AC] kenarının orta noktası olduğuna göre:
|AK| = \frac{|AC|}{2} = \frac{16}{2} = 8\text{ birim}
CEVAP: B) 8 (|AK| = 8\text{ birim})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Eşkenar üçgende verilen kenarortayın 30^\circ - 30^\circ açıortay oluşturduğunu görmek, soruda verilen 105^\circ açısının bütünleri olan 75^\circ ile birleştiğinde gizli bir 30^\circ - 75^\circ - 75^\circ ikizkenar üçgenini anında açığa çıkarır.