ABC dik üçgeninde
m(widehat{ABD}) = 20^\circ
m(widehat{ACB}) = 40^\circ
|AD| = 4 cm
Yukarıda verilenlere göre, |BC| - |CD| kaç cm dir?
A) 2\sqrt{3}
B) 4
C) 6
D) 4\sqrt{3}
E) 8
Dik Üçgende Trigonometrik Bağıntılar ve Yarım Açı Formülü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Dik üçgende dar açı trigonometrik oranları ve \tan\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta} yarım açı özdeşliği kullanılarak kenarlar arasındaki fark doğrudan ifade edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — ABD Dik Üçgeninde Kenar Oranını Belirleme
A köşesi dik açı (90^\circ), m(\widehat{ABD}) = 20^\circ ve |AD| = 4\text{ cm} olarak verilmiştir. ABD dik üçgeninde trigonometrik tanjant tanımından:
\tan 20^\circ = \frac{|AD|}{|AB|} \implies |AD| = |AB| \cdot \tan 20^\circ = 4\text{ cm}
Adım 2 — ABC Dik Üçgeninde |BC| - |AC| Farkını Hesaplama
ABC dik üçgeninde m(\widehat{ACB}) = 40^\circ olduğundan:
\sin 40^\circ = \frac{|AB|}{|BC|} \implies |BC| = \frac{|AB|}{\sin 40^\circ}
\cos 40^\circ = \frac{|AC|}{|BC|} \implies |AC| = |BC| \cdot \cos 40^\circ
Bu iki bağıntıdan |BC| - |AC| farkı yazılırsa:
|BC| - |AC| = |BC|(1 - \cos 40^\circ) = \frac{|AB|}{\sin 40^\circ} \cdot (1 - \cos 40^\circ) = |AB| \cdot \frac{1 - \cos 40^\circ}{\sin 40^\circ}
Yarım açı özdeşliği \frac{1 - \cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} = \tan 20^\circ yerine yazıldığında:
|BC| - |AC| = |AB| \cdot \tan 20^\circ = 4\text{ cm}
Adım 3 — |BC| - |CD| Değerini Bulma
D noktası [AC] kenarı üzerinde yer aldığından |AC| = |AD| + |CD| = 4 + |CD| olur. Buradan |CD| = |AC| - 4 elde edilir:
|BC| - |CD| = |BC| - (|AC| - 4) = (|BC| - |AC|) + 4
|BC| - |CD| = 4 + 4 = 8\text{ cm}
CEVAP: E) 8 (|BC| - |CD| = 8\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir dik üçgende hipotenüs ile komşu dik kenarın farkı olan c - b = a \cdot \tan\left(\frac{B}{2}\right) bağıntısı, bu tarz trigonometrik geometrik sorularda uzun cebirsel işlemlerden kurtaran çok güçlü bir sınav pratikliğidir.