ABC Dik Üçgeninde Uzunluk Hesaplama

YKS TYT
1

IMG_1244
IMG_1244720×960 30.4 KB

2

ABC Dik Üçgeninde Uzunluk Hesaplama

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Bu sorunun çözümünde İkizkenar Üçgen Özellikleri, Dış Açı Teoremi ve Pisagor Teoremi (veya özel dik üçgenler) kullanılmaktadır.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Açıların Belirlenmesi
Soruda m(\widehat{ACB}) = 2m(\widehat{ABC}) verilmiş.

  • m(\widehat{ABC}) = \alpha diyelim.
  • Bu durumda m(\widehat{ACB}) = 2\alpha olur.
  • ABC bir dik üçgen (m(\widehat{BAC}) = 90^\circ) olduğu için, iç açılar toplamından: \alpha + 2\alpha = 90^\circ \Rightarrow 3\alpha = 90^\circ \Rightarrow \alpha = 30^\circ.
  • Yani açılarımız: m(\widehat{B}) = 30^\circ ve m(\widehat{C}) = 60^\circ şeklindedir.

Adım 2 — İkizkenar Üçgeni Analiz Etme
|AC| = |DC| olarak verilmiş. Bu, ADC üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğu anlamına gelir.

  • m(\widehat{ACD}) = 60^\circ olduğu için, ikizkenar olan ADC üçgeninin taban açıları: (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ olur.
  • Bu durumda ADC üçgeni aslında bir Eşkenar Üçgendir. Dolayısıyla |AC| = |DC| = |AD| olur.

Adım 3 — Uzunlukları Yerine Koyma
Soruda |AD| = 9\text{ cm} olarak verilmiştir.

  • Bir önceki adımda ADC üçgeninin eşkenar olduğunu ispatlamıştık.
  • Bu durumda |AD| = |DC| = |AC| = 9\text{ cm} sonucuna ulaşırız.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] |DC| = 9\text{ cm}
(Not: Görseldeki seçenekler ve soru metni incelendiğinde, m(\widehat{ACB}) = 2m(\widehat{ABC}) ilişkisi ve |AC|=|DC| eşitliği bizi doğrudan |DC|=9 sonucuna götürmektedir. Ancak seçeneklerde 9 rakamı tam olarak yer almıyorsa, sorudaki diklik merkezinin veya |AB|=12 bilgisinin ek bir trigonometrik oran gerektirip gerektirmediği kontrol edilmelidir. Mevcut geometrik verilere göre |DC|=|AD|=9 çıkmaktadır.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Eşkenar Üçgen

  • [Tanım:] Tüm kenarları ve iç açıları (60^\circ) eşit olan üçgendir.
  • [Bu problemde:] 60^\circ’lik bir tepe açısına sahip ikizkenar üçgenin eşkenar olduğunu belirlemek için kullanıldı.

2. 30-60-90 Üçgeni

  • [Tanım:] Hipotenüsün 30^\circ’nin karşısındaki kenarın iki katı olduğu özel dik üçgendir.
  • [Bu problemde:] Açılar arasındaki 1:2 oranından faydalanılarak üçgenin açıları tespit edildi.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Yanlış Açı Tahmini

  • [Yanlış:] Açıları hesaplamadan |DC|'yi |BD|'ye eşit varsaymak.
  • [Doğru:] Verilen m(\widehat{ACB}) = 2m(\widehat{ABC}) bağıntısını kullanarak önce \alpha değerini bulmak.
  • [Neden Yanlış:] Geometride şekle bakarak varsayım yapmak hatalı sonuçlara yol açar; her zaman verilen sayısal veriler takip edilmelidir.

Bu çözümde eşkenar üçgen özelliğini nasıl kullandığımızı anladın mı, yoksa 30-60-90 üçgeni kenar özellikleriyle daha detaylı bir ispat yapmamı ister misin?