ABC dik üçgeninde
os x = \frac{3}{5}
\tan y = \frac{8}{15}
|DC| = 9 birim
Buna göre, |AB| kaç birimdir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
ABC Dik Üçgeninde Trigonometrik Oranlar ile |AB| Uzunluğunun Bulunması
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
Dik üçgende dar açıların trigonometrik oranları:
\cos \alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
\tan \alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies 3-4-5 \text{ Özel Dik Üçgeni}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — ABD Dik Üçgeninde \tan x Değerini ve |BD| Uzunluğunu İfade Etme
ABD üçgeninde B açısı 90^\circ olduğundan:
\cos x = \frac{|BD|}{|AD|} = \frac{3}{5}
\cos x = \frac{3}{5} olan bir dik üçgen 3-4-5 temel oranına sahiptir. Buradan karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı:
\tan x = \frac{|AB|}{|BD|} = \frac{4}{3}
Bu eşitlikten |BD| uzunluğunu |AB| cinsinden yazalım:
|BD| = \frac{3}{4} |AB|
Adım 2 — ABC Dik Üçgeninde \tan y Değerini ve |BC| Uzunluğunu İfade Etme
ABC büyük dik üçgeninde y açısının tanjantı:
\tan y = \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{8}{15}
Buradan |BC| uzunluğunu |AB| cinsinden yazalım:
|BC| = \frac{15}{8} |AB|
Adım 3 — Kenar Uzunlukları Arasındaki Bağıntıyı Kurma ve |AB| Değerini Hesaplama
Şekle göre B, D, C noktaları doğrusal olduğundan:
|BC| = |BD| + |DC|
Bulduğumuz ifadeleri ve |DC| = 9\text{ birim} değerini yerine yazalım:
\frac{15}{8} |AB| = \frac{3}{4} |AB| + 9
Denklemin her iki tarafını 8 ile genişleterek paydaları eşitleyelim:
15 |AB| = 2 \times 3 |AB| + 8 \times 9
15 |AB| = 6 |AB| + 72
15 |AB| - 6 |AB| = 72
9 |AB| = 72
|AB| = \frac{72}{9} = 8\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (8\text{ birim})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Dik Üçgende Tanjant Oranı
- Tanım: Bir dik üçgende dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun, komşusundaki dik kenar uzunluğuna oranıdır.
- Bu problemde: Hem küçük ABD üçgeninde \tan x = \frac{4}{3} hem de büyük ABC üçgeninde \tan y = \frac{8}{15} kullanılarak ortak kenar olan |AB| üzerinden denklem kurulmuştur.
2. Doğrusal Parçaların Toplamı
- Tanım: Bir doğru parçası üzerindeki bir nokta, o parçayı iki alt uzunluğa böler.
- Bu problemde: |BC| = |BD| + |DC| eşitliği kullanılarak bilinmeyen uzunluk çözülmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
\cos x Değerini Direkt \tan x Olarak Kullanmak
- Yanlış: \cos x = \frac{3}{5} verildiğinde komşu/karşı oranını karıştırıp |AB| = 3k, |BD| = 4k almak.
- Doğru: \cos x = \frac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}} = \frac{3}{5} olduğundan komşu kenar |BD| = 3k, karşı kenar |AB| = 4k olur.
- Neden yanlış: Trigonometrik oranların tanımlarındaki kenar konumları karıştırıldığında denklem hatalı kurulur.
Benzer trigonometri veya dik üçgen sorularıyla pratik yapmak ister misiniz?