ABC dik üçgeninde, D iç teğet çemberin merkezi,
|BD| = 4 cm, jCD| = 6V2 cm
A) 8
15 3
Yukarıda verilenlere göre, A(BDC) kaç cm dir?
B) 8V2
62
C) 12
D) 1242
E) 16
Dik Üçgende İç Teğet Çemberin Merkezi ve Alan Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir üçgende iç açıortayların kesişim noktası (iç teğet çemberin merkezi D) arasındaki açı bağıntısı:m(\widehat{BDC}) = 90^\circ + \frac{m(\widehat{A})}{2}
- Sinüslü Alan Bağıntısı:A(BDC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \widehat{BDC} Açısının Ölçüsünü Bulma
D noktası iç teğet çemberin merkezi olduğundan, [BD] ve [CD] doğru parçaları sırasıyla B ve C köşelerine ait iç açıortaylardır. A köşesi dik açı (m(\widehat{A}) = 90^\circ) olduğundan:
m(\widehat{BDC}) = 90^\circ + \frac{90^\circ}{2} = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ
Adım 2 — Sinüslü Alan Formülü ile A(\widehat{BDC}) Değerini Hesaplama
BDC üçgeninde iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı bilindiği için sinüslü alan bağıntısı uygulanır:
A(\widehat{BDC}) = \frac{1}{2} \cdot |BD| \cdot |CD| \cdot \sin(135^\circ)
Verilen değerler (|BD| = 4\text{ cm}, |CD| = 6\sqrt{2}\text{ cm} ve \sin(135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}) yerine yazılır:
A(\widehat{BDC}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
A(\widehat{BDC}) = 2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- İç Teğet Çemberin Merkezi: Bir üçgenin üç iç açıortayının kesiştiği noktadır ve kenarlara olan dik uzaklıkları (yarıçap r) birbirine eşittir.
- Tümler/Bütünler Açılarda Sinüs: Birbirini 180^\circ’ye tamamlayan açıların sinüs değerleri eşittir (\sin(135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: D noktasını ağırlık merkezi veya diklik merkezi ile karıştırıp açıyı doğrudan dik (90^\circ) kabul etmek.- Doğru Yaklaşım: İç teğet çember merkezinin oluşturduğu açının 90^\circ + \frac{\widehat{A}}{2} kuralı ile bulunması gerektiğini hatırlamak.
Bu kuralın dış teğet çember merkezi için nasıl uygulandığını da incelemek ister misin?
@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz
A(\widehat{BDC}) Alanının Pratik Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- m(\widehat{BDC}) = 90^\circ + \frac{m(\widehat{A})}{2}
- A(\widehat{BDC}) = \frac{1}{2} \cdot |BD| \cdot |CD| \cdot \sin(\widehat{BDC})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tepe Açısını Bulma
m(\widehat{BDC}) = 90^\circ + \frac{90^\circ}{2} = 135^\circ
Adım 2 — Sinüslü Alan Hesabı
A(\widehat{BDC}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ)
\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} olduğundan:
A(\widehat{BDC}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Benzer bir açıortay alan sorusuyla pekiştirmek ister misin?