ABC dik üçgeni B köşesi etrafında negatif yönde 45irc , EDF ikizkenar dik üçgeni ise D köşesi etrafında pozitif yönde

Question Answer
1

Şekil-1’de bir iç açısının ölçüsü 60^irc ve bir kenarının uzunluğu 12\sqrt{2} cm olan ABC dik üçgeni ile EDF ikizkenar dik üçgeni verilmiştir.
ABC dik üçgeni B köşesi etrafında negatif yönde 45^irc , EDF ikizkenar dik üçgeni ise D köşesi etrafında pozitif yönde 30^irc döndürüldüğünde Şekil-2’deki görünüm elde ediliyor.
|C'E'| = 2\sqrt{6} cm
Buna göre, |E'F'| kaç cm’dir?

Şekil-1'de bir iç açısının ölçüsü 60irc ve bir kenarının uzunluğu 12√2 cm olan ABC dik...
Şekil-1'de bir iç açısının ölçüsü 60irc ve bir kenarının uzunluğu 12√2 cm olan ABC dik...799×1024 90.9 KB

2

Dönen Dik Üçgenlerde Uzunluk Bulma

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Özel Üçgeni: Hipotenüs 2a ise, 30^\circ’nin karşısı a, 60^\circ’nin karşısı a\sqrt{3} birimdir.
  • İkizkenar Dik Üçgen (45^\circ - 45^\circ - 90^\circ): Dik kenarlar k ise, hipotenüs k\sqrt{2} birimdir.
  • Sinüs Teoremi: Bir üçgende kenarlar ve karşılarındaki açıların sinüsleri orantılıdır:
\frac{a}{\sin \widehat{A}} = \frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — ABC Üçgeninin Kenar Uzunluklarını Belirleme
ABC dik üçgeninde m(\widehat{B}) = 90^\circ, m(\widehat{A}) = 60^\circ olduğundan m(\widehat{C}) = 30^\circ olur.
Hipotenüs uzunluğu |AC| = 12\sqrt{2}\text{ cm} olarak verilmiştir. 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ kuralına göre:

|AB| = \frac{|AC|}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\text{ cm}
|BC| = |AB| \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{6}\text{ cm}

Adım 2 — Dönme Açılarını ve |BE'| Uzunluğunu Bulma

  • ABC üçgeni B köşesi etrafında negatif yönde (saat yönünde) 45^\circ döndürüldüğünde, başlangıçta zemine dik olan [BC] kenarı zemin çizgisi [BD] ile 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ açı yapar:
m(\widehat{C'BD}) = 45^\circ
  • Şekil-2’de B, E', C' noktaları doğrusaldır. Döndürme işleminde kenar uzunluğu değişmeyeceğinden:
|BC'| = |BC| = 6\sqrt{6}\text{ cm}
|C'E'| = 2\sqrt{6}\text{ cm} \implies |BE'| = |BC'| - |C'E'| = 6\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}\text{ cm}

Adım 3 — E'BD Üçgeninde Açıları Belirleme ve DE' Kenarını Bulma

  • EDF ikizkenar dik üçgeni D köşesi etrafında pozitif yönde (saat yönünün tersine) 30^\circ döndürüldüğünde, başlangıçta zemine dik olan [DE] kenarı sola doğru 30^\circ yatar ve [DB] zemini ile yaptığı açı:
m(\widehat{E'DB}) = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \text{ olur.}
  • E'BD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanırsa:
\frac{|DE'|}{\sin(45^\circ)} = \frac{|BE'|}{\sin(60^\circ)}
\frac{|DE'|}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
|DE'| = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 4 \cdot 2 = 8\text{ cm}

Adım 4 — |E'F'| Hipotenüs Uzunluğunu Hesaplama
EDF üçgeni bir ikizkenar dik üçgen olduğundan:

|DE'| = |DF'| = 8\text{ cm}

Hipotenüs uzunluğu dik kenarların \sqrt{2} katıdır:

|E'F'| = |DE'| \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}\text{ cm}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 8\sqrt{2}\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Dönme Hareketi: Bir şekil döndürüldüğünde açıların ve kenarların uzunlukları korunur (şeklin eşliği bozulmaz).
  • Dönme Yönü: Negatif yön saat ibresi yönü, pozitif yön ise saat ibresinin tersi yönüdür.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Dönme açısını zeminle yapılan açı olarak doğrudan almak (45^\circ döndürülünce zeminle açıyı 45^\circ almak tesadüfen doğru olsa da, dik kenarın zemine olan başlangıç konumu hesaba katılmalıdır).
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: [BC] zemine dik (90^\circ) olduğundan, saat yönünde 45^\circ döndüğünde yer düzlemiyle 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ açı yapar.

Bu tip dönme sorularında trigonometrik oranları veya özel üçgenleri pekiştirmek için benzer bir soru çözmek ister misin?