ABC dik üçgen
[AB] L (BC]
|AB|.|BC|= 8/3 cm?
\sin (A). \sin (C) =3
olduğuna göre, |AC| = x kaç cm dir?
2
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Hipotenüs Uzunluğu
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir dik üçgende bir dar açının sinüsü, karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına eşittir:
\sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Trigonometrik Oranları Kenarlar Cinsinden Yazma
B açısı 90^\circ olan ABC dik üçgeninde hipotenüs |AC| = x olarak verilmiştir. A ve C açılarının sinüs değerlerini dik üçgendeki kenar bağıntıları ile ifade edelim:
\sin(\widehat{A}) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|BC|}{x}
\sin(\widehat{C}) = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|AB|}{x}
Adım 2 — Sinüslerin Çarpımını İfade Etme
Soruda verilen çarpım bağıntısında bu ifadeleri yerine yazalım:
\sin(\widehat{A}) \cdot \sin(\widehat{C}) = \frac{|BC|}{x} \cdot \frac{|AB|}{x} = \frac{|AB| \cdot |BC|}{x^2}
Adım 3 — Denklem Kurma ve x Değerini Bulma
Bize |AB| \cdot |BC| = 8\sqrt{3}\text{ cm}^2 ve \sin(\widehat{A}) \cdot \sin(\widehat{C}) = \frac{\sqrt{3}}{2} olarak verilmiştir. Değerleri denklemde yerine yazalım:
\frac{8\sqrt{3}}{x^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Her iki tarafı \sqrt{3} ile sadeleştirelim:
\frac{8}{x^2} = \frac{1}{2}
İçler dışlar çarpımı yapalım:
x^2 = 8 \cdot 2
x^2 = 16 \implies x = 4\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: x = 4\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Sinüs Fonksiyonu: Bir dik üçgende karşı kenarın hipotenüse oranıdır. A ve C tümler açılar olduğundan \sin(\widehat{C}) = \cos(\widehat{A}) eşitliği de geçerlidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Kenar uzunluklarını (|AB| ve |BC|) Pisagor teoreminden ayrı ayrı bulmaya çalışarak vakit kaybetmek.- Doğru Yaklaşım: İstenen oranda doğrudan kenarların çarpımının (|AB| \cdot |BC|) elde edildiğini fark edip verilen çarpım değerini topluca yerine yazmak.
Benzer bir trigonometri veya dik üçgen pekiştirme sorusu çözmek ister misin?