ABC dik üçgen, [BC] \perp [AC] olduğuna göre, |AD| = 2 cm, |DC| = 1 cm olduğuna göre, m(widehat{BDC}) = \alpha kaç derecedir?
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Açı Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgeni Oranları:\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}
- Tanjant Bağıntısı:\tan(\alpha) = \frac{|BC|}{|DC|}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — [AC] Kenar Uzunluğunun Hesaplanması
Şekilde D noktası [AC] kenarı üzerinde yer almaktadır. Verilen uzunlukları toplayarak [AC] kenarının tamamını bulalım:
|AC| = |AD| + |DC| = 2\text{ cm} + 1\text{ cm} = 3\text{ cm}
Adım 2 — ABC Dik Üçgeninden |BC| Uzunluğunun Bulunması
ABC dik üçgeninde m(\widehat{C}) = 90^\circ ve m(\widehat{A}) = 30^\circ olarak verilmiştir. A açısının tanjantını yazarak |BC| kenarını elde edelim:
\tan(30^\circ) = \frac{|BC|}{|AC|}
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{|BC|}{3} \implies |BC| = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\text{ cm}
Adım 3 — BCD Dik Üçgeninde \alpha Açısının Hesaplanması
BCD dik üçgeninde [BC] \perp [DC] olduğundan, \alpha açısının tanjant değerini karşı ve komşu kenar oranından yazalım:
\tan(\alpha) = \frac{|BC|}{|DC|} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}
Tanjant değeri \sqrt{3} olan dar açı 60^\circ olduğundan:
\alpha = 60^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 60
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Üçgeni: 30^\circ’nin karşısındaki kenar, 60^\circ’nin karşısındaki kenarın \frac{1}{\sqrt{3}} katıdır.
- Tanjant Fonksiyonu: Bir dik üçgende bir dar açının karşısındaki dik kenarın, komşusundaki dik kenara oranıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: |AD| = 2\text{ cm} değerini doğrudan dik üçgenin bir kenarı sanıp pisagor bağıntısı uygulamak.- Doğru Yaklaşım: D noktasının hipotenüs üzerinde değil, [AC] dik kenarı üzerinde olduğunu görüp |AC| = 2 + 1 = 3\text{ cm} bağıntısını kullanmak.
Benzer bir özel dik üçgen sorusu ile bu konuyu pekiştirmek ister misin?