ABC dik üçgen
BA 1 AC
AD 1 BC
IACI = 6V3 birim
ICD| =3x birim
IDBI = x birim
6/3
3x
Buna göre, x değeri kaçtır?
A) 9
B) 6
c)3
D) 2
E) 2
ABC Dik Üçgeninde Öklid Bağıntısı ile x Değerinin Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse inilen dikmede Öklid Teoremi’nin Kenar Bağıntısı geçerlidir:
|AC|^2 = |CD| \cdot |BC|
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Hipotenüsün Toplam Uzunluğunu Belirleme
Verilen uzunluklara göre hipotenüs olan [BC] kenarının toplam uzunluğu:
|BC| = |DB| + |CD| = x + 3x = 4x\text{ birim}
Adım 2 — Öklid Kenar Bağıntısını Uygulama
Bilinen |AC| = 6\sqrt{3}\text{ birim}, |CD| = 3x\text{ birim} ve |BC| = 4x\text{ birim} değerlerini formülde yerine yazalım:
(6\sqrt{3})^2 = 3x \cdot 4x
Adım 3 — Denklemi Çözme
İfadelerin karelerini ve çarpımlarını hesaplayalım:
36 \cdot 3 = 12x^2
108 = 12x^2
Her iki tarafı 12’ye bölelim:
x^2 = \frac{108}{12}
x^2 = 9
x = 3\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (3)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Öklid Bağıntıları (Dik Üçgende Yükseklik ve Kenar Bağıntıları)
- Tanım: Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde, dik kenarların karesi; kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
- Bu problemde: |AC| dik kenarının karesi, kendine yakın olan parça |CD| ile tüm hipotenüs |BC|'nin çarpımına eşitlenmiştir (|AC|^2 = |CD| \cdot |BC|).
SIK YAPILAN HATALAR:
Parça Çarpımını Yanlış Alma
- Yanlış: (6\sqrt{3})^2 = 3x \cdot x şeklinde sadece ayrılan parçaları çarpmak.
- Doğru: (6\sqrt{3})^2 = 3x \cdot (3x + x) şeklinde parçanın hipotenüsün tamamı ile çarpılması gerekir.
- Neden Yanlış: İki parçanın çarpımı (p \cdot k) yüksekliğin karesine (h^2) eşittir; dik kenarın karesine (b^2) değil.
Öklid teoreminin yükseklik bağıntısı (h^2 = p \cdot k) veya benzerlik mantığıyla ilgili pekiştirici bir örnek soru daha çözmemi ister misin?
ABC Dik Üçgeninde Öklid Bağıntısı ile x Değerinin Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde Öklid Dik Kenar Bağıntısı geçerlidir:
|AC|^2 = |CD| \cdot |BC|
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Hipotenüsün (|BC|) Toplam Uzunluğunu Bulma
Hipotenüs üzerindeki parçalar |DB| = x ve |CD| = 3x olarak verilmiştir. Hipotenüsün tamamı bu iki parçanın toplamıdır:
|BC| = |DB| + |CD| = x + 3x = 4x
Adım 2 — Öklid Dik Kenar Bağıntısını Kurma
Dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerinde kendisine komşu olan parça ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir:
|AC|^2 = |CD| \cdot |BC|
Adım 3 — Verilen Değerleri Formülde Yerine Yazma
- |AC| = 6\sqrt{3}
- |CD| = 3x
- |BC| = 4x
(6\sqrt{3})^2 = 3x \cdot 4x
36 \cdot 3 = 12x^2
108 = 12x^2
Adım 4 — x Değerini Hesaplama
Her iki tarafı 12’ye bölelim:
x^2 = \frac{108}{12}
x^2 = 9
Uzunluk negatif olamayacağı için (x > 0):
x = 3\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (3)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Öklid Teoremi (Dik Kenar Bağıntısı)
- Tanım: Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse dikme (yükseklik) indirildiğinde oluşan kenar ve parça bağıntılarıdır.
- Bu problemde: AC dik kenarının karesi, kendi tarafındaki parça olan |CD| ile tüm hipotenüs |BC|'nin çarpımına eşitlenerek kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yüksekliğin Karesi Bağıntısıyla Karıştırma
- Yanlış: (6\sqrt{3})^2 = x \cdot 3x bağıntısını kurmak.
- Doğru: Verilen 6\sqrt{3} uzunluğu yükseklik (AD) değil, dik kenardır (AC). Bu nedenle dik kenar bağıntısı olan |AC|^2 = |CD| \cdot |BC| kullanılmalıdır.
- Neden yanlış: h^2 = p \cdot k formülü sadece hipotenüse inen yükseklik (|AD|) için geçerlidir.
Öklid teoreminin diğer bağıntılarını (yükseklik bağıntısı ve alan bağıntısı) pekiştirmek için benzer bir örnek soru çözmemi ister misin?