ABC dik üçgen, BA L AC, AD L BC Buna göre, IAEI kaç birimdir?

YKS TYT
1

ABC dik üçgen, BA L AC, AD L BC
IADI = 4 birim, IBDI = 2 birim, IEC| = 5 birim
Buna göre, IAEI kaç birimdir?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3

ABC dik üçgen, BA L AC, AD L BC IADI = 4 birim, IBDI = 2 birim, IEC = 5 birim Buna...
ABC dik üçgen, BA L AC, AD L BC IADI = 4 birim, IBDI = 2 birim, IEC = 5 birim Buna...1024×768 79.7 KB

2

ABC Dik Üçgeninde |AE| Uzunluğunun Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

  1. Öklid Yükseklik Bağıntısı: Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir:
    h^2 = p \cdot k \implies |AD|^2 = |BD| \cdot |DC|
  2. Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:
    a^2 + b^2 = c^2 \implies |AD|^2 + |DE|^2 = |AE|^2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Öklid Bağıntısı ile |DC| Uzunluğunu Bulma
ABC üçgeninde m(\widehat{BAC}) = 90^\circ ve [AD] \perp [BC] olduğundan Öklid teoremi uygulanır:

|AD|^2 = |BD| \cdot |DC|
4^2 = 2 \cdot |DC|
16 = 2 \cdot |DC|
|DC| = 8\text{ birim}

Adım 2 — |DE| Uzunluğunu Hesaplama
[DC] doğru parçası üzerinde E noktası yer aldığından |DC| = |DE| + |EC| bağıntısı geçerlidir. Verilen |EC| = 5\text{ birim} değeri yerine yazılır:

|DE| + 5 = 8
|DE| = 8 - 5 = 3\text{ birim}

Adım 3 — ADE Dik Üçgeninde Pisagor Teoremi ile |AE| Uzunluğunu Bulma
[AD] \perp [BC] olduğundan ADE üçgeni D köşesinde dik açılı bir üçgendir. Dik kenarları |AD| = 4\text{ birim} ve |DE| = 3\text{ birim} olan bu üçgende (3 - 4 - 5) özel dik üçgen bağıntısı kullanılır:

|AE|^2 = |AD|^2 + |DE|^2
|AE|^2 = 4^2 + 3^2
|AE|^2 = 16 + 9 = 25
|AE| = \sqrt{25} = 5\text{ birim}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Öklid Bağıntıları

  • Tanım: Dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin kenarlarla oluşturduğu geometrik bağıntılardır.
  • Bu problemde: Yükseklik (|AD| = 4) ve sol taban parçası (|BD| = 2) kullanılarak sağ taban parçası (|DC| = 8) hesaplanmıştır.

2. 3-4-5 Özel Dik Üçgeni

  • Tanım: Dik kenar uzunlukları 3 ve 4 birim (veya bunların katları) olan dik üçgenlerin hipotenüs uzunluğu her zaman 5 birimdir.
  • Bu problemde: Dik kenarları 3\text{ birim} ve 4\text{ birim} olan ADE üçgeninde |AE| hipotenüsü doğrudan 5\text{ birim} olarak bulunmuştur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: |EC| Uzunluğunu Doğrudan Öklid Tabanı Olarak Almak

  • Yanlış: 4^2 = 2 \cdot |EC| \implies 16 = 2 \cdot 5 gibi yanlış bir eşitleme kurmak.
  • Doğru: Yüksekliğin tabanda ayırdığı tam parçanın |DC| olduğunu ve |DC| = |DE| + |EC| ilişkisinin gözetilmesi gerektiğini bilmek.
  • Neden yanlış: D noktasından C’ye kadar olan parça $8\text{ birim}$dir; E noktası bu parçanın üzerinde yer alır ve C köşesine olan uzaklığı $5\text{ birim}$dir.

Öklid teoreminin diğer bağıntıları (dik kenar bağıntıları gibi) ile ilgili pekiştirici benzer bir soru çözmemi ister misin?