ABC dik üçgen
AH \perp BC
|AC| = 2 \cdot |AB|
|HC| = k \cdot |BH| olduğuna göre, k kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Dik Üçgende Öklid Bağıntıları ve Kenar Oranı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde Öklid’in dik kenar bağıntısı gereğince bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı kendisine komşu parça ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir (c^2 = p \cdot a ve b^2 = k \cdot a).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Değerlerin ve Öklid Bağıntılarının Yazılması
m(\widehat{BAC}) = 90^\circ ve [AH] \perp [BC] olan ABC dik üçgeninde |AB| = x seçilirse, verilen |AC| = 2 \cdot |AB| bağıntısından |AC| = 2x olur. Öklid teoreminin dik kenar bağıntılarını uygulayalım:
|AB|^2 = |BH| \cdot |BC|
|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|
Adım 2 — Eşitlikleri Oranlayarak k Değerini Bulma
Bu iki bağıntıyı taraf tarafa oranladığımızda ortak hipotenüs uzunluğu (|BC|) sadeleşir:
\frac{|HC| \cdot |BC|}{|BH| \cdot |BC|} = \frac{|AC|^2}{|AB|^2}
\frac{|HC|}{|BH|} = \left(\frac{|AC|}{|AB|}\right)^2 = \left(\frac{2x}{x}\right)^2 = 2^2 = 4
Buradan |HC| = 4 \cdot |BH| elde edilir, dolayısıyla k = 4 bulunur.
CEVAP: C) 4 (k = 4)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir dik üçgende dik kenarlar oranı \frac{b}{c} ise, hipotenüs yüksekliğinin tabanda ayırdığı parçaların oranı her zaman dik kenarlar oranının karesine eşittir \left(\frac{p_2}{p_1} = \left(\frac{b}{c}\right)^2\right). Bu pratik kural sınavda doğrudan 2^2 = 4 yazarak zaman kazandırır.