ABC dik üçgen
m(widehat{BAC}) = 90^\circ
|AB| = 6 cm
|BG| = 5 cm
Yukarıdaki şekilde, üçgenin ağırlık merkezi G olduğuna göre, |AC| = x kaç cm’dir?
A) 8
B) 9
C) 10
D) \frac{25}{2}
E) \frac{27}{2}
Dik Üçgende Ağırlık Merkezi ve Kenarortay Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende ağırlık merkezi (G), kenarortayı köşeden kenara doğru 2:1 oranında böler (|BG| = 2|GD|). Dik kenarlar arasındaki bağıntı ise Pisagor Teoremi (a^2 + b^2 = c^2) ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — B köşesinden çizilen kenarortay uzunluğunu belirleme
B köşesinden çıkıp ağırlık merkezi G’den geçen doğru parçasını [AC] kenarına kadar uzatalım ve kestiği noktaya D diyelim. [BD], [AC] kenarına ait kenarortay olur ve D noktası [AC]'nin orta noktasıdır (|AD| = |DC| = \frac{x}{2}).
Ağırlık merkezi kuralına göre:
|BG| = 2|GD| \implies 5 = 2|GD| \implies |GD| = \frac{5}{2} = 2{,}5\text{ cm}
Buradan kenarortayın tamamı:
|BD| = |BG| + |GD| = 5 + 2{,}5 = \frac{15}{2} = 7{,}5\text{ cm}
Adım 2 — ABD dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulama
m(\widehat{BAC}) = 90^\circ olduğundan ABD bir dik üçgendir. Hipotenüs |BD| = 7{,}5\text{ cm} ve dik kenar |AB| = 6\text{ cm}'dir:
|AD|^2 + |AB|^2 = |BD|^2
|AD|^2 + 6^2 = \left(\frac{15}{2}\right)^2
|AD|^2 + 36 = \frac{225}{4} = 56{,}25
|AD|^2 = 56{,}25 - 36 = 20{,}25 \implies |AD| = 4{,}5 = \frac{9}{2}\text{ cm}
(Bu üçgen, kenarları 3-4-5 özel üçgeninin 1{,}5 katı olan 4{,}5 - 6 - 7{,}5 üçgenidir.)
D noktası [AC] kenarının orta noktası olduğuna göre:
|AC| = x = 2 \cdot |AD| = 2 \cdot \frac{9}{2} = 9\text{ cm}
CEVAP: B) 9 (|AC| = 9\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Ağırlık merkezinden kenara uzatılan parçanın kenarortay olduğunu ve kenarı iki eşit parçaya böldüğünü unutmamak gerekir. |AD| = 4{,}5 bulunduktan sonra son adımda 2 ile çarparak tüm |AC| uzunluğuna (9\text{ cm}) ulaşılır.