ABC dik üçgen
|BD| = |CD|
|AD| = 2\sqrt{6} cm
|AC| = 4\sqrt{3} cm
Yukarıda verilenlere göre, |AB| = x kaç cm’dir?
A) 2\sqrt{3}
B) 4
C) 3\sqrt{2}
D) 2\sqrt{5}
E) \sqrt{21}
Dik Üçgende Pisagor Teoremi ile Kenar Bağıntıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir (Pisagor Teoremi: a^2 + b^2 = c^2). Ortak dik kenara sahip iç içe dik üçgenlerde kurulan denklem sistemiyle bilinmeyen kenar uzunlukları bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilenleri ve Dik Üçgenleri Tanımlama
Şekilde B açısı 90^\circ olan bir dik üçgen verilmiştir. |BD| = |CD| = y ve |AB| = x olsun. Bu durumda hipotenüs değerleri |AD| = 2\sqrt{6}\text{ cm} ve |AC| = 4\sqrt{3}\text{ cm} olup taban uzunluğu |BC| = 2y olur.
Adım 2 — \triangle ABD ve \triangle ABC Üçgenlerinde Pisagor Bağıntılarını Yazma
İlk olarak \triangle ABD dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım:
x^2 + y^2 = (2\sqrt{6})^2 \implies x^2 + y^2 = 24 \quad \text{(1. Denklem)}
Ardından büyük \triangle ABC dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım:
x^2 + (2y)^2 = (4\sqrt{3})^2 \implies x^2 + 4y^2 = 48 \quad \text{(2. Denklem)}
Adım 3 — Denklem Sistemini Çözerek x Değerini Bulma
2. denklemden 1. denklemi taraf tarafa çıkararak y^2 değerini elde ederiz:
(x^2 + 4y^2) - (x^2 + y^2) = 48 - 24 \implies 3y^2 = 24 \implies y^2 = 8
Bulunan y^2 = 8 değerini 1. denklemde yerine yazalım:
x^2 + 8 = 24 \implies x^2 = 16 \implies x = 4\text{ cm}
CEVAP: B) 4 (|AB| = 4\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kenarortay içeren dik üçgenlerde kenarortay teoremi yerine dik kenar üzerinden iki ayrı Pisagor bağıntısı kurup taraf tarafa çıkarma yapmak, işlem hatası riskini en aza indiren en pratik yoldur.