ABC dik üçgen
[AB] \perp [BC]
b - c = 6 birim
|BD| = 8 birim
Buna göre, |DC| = x kaç birimdir?
Dik Üçgende İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende iç açıortayın kenarlar üzerinde ayırdığı parçaların oranı, komşu kenarların uzunlukları oranına eşittir (\frac{c}{b} = \frac{|BD|}{|DC|}). Dik üçgende ise Pisagor bağıntısı (c^2 + |BC|^2 = b^2) ve iki kare farkı özdeşliği (b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)) kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İç Açıortay Teoremi ile Kenar Orantısını Kurma
Şekildeki ABC dik üçgeninde [AD] doğru parçası A açısına ait iç açıortaydır. Kenar uzunlukları |AB| = c, |AC| = b, |BD| = 8 ve |DC| = x olduğundan:
\frac{c}{b} = \frac{8}{x} \implies \frac{b}{c} = \frac{x}{8}
Orantı özelliklerinden yararlanarak verilen b - c = 6 değerini yerine yazalım:
\frac{b - c}{c} = \frac{x - 8}{8} \implies \frac{6}{c} = \frac{x - 8}{8} \implies c = \frac{48}{x - 8}
Benzer şekilde b + c toplamını x cinsinden ifade edelim:
\frac{b + c}{b - c} = \frac{x + 8}{x - 8} \implies b + c = \frac{6(x + 8)}{x - 8}
Adım 2 — Pisagor Bağıntısı ile x Değerini Bulma
ABC dik üçgeninde hipotenüs b, dik kenarlar ise c ve |BC| = 8 + x’tir:
c^2 + (8 + x)^2 = b^2 \implies b^2 - c^2 = (x + 8)^2
İki kare farkını açıp bulduğumuz bağıntıları yerine yazalım:
(b - c)(b + c) = (x + 8)^2
6 \cdot \left(\frac{6(x + 8)}{x - 8}\right) = (x + 8)^2
Eşitliğin her iki tarafını sıfırdan farklı olan (x + 8) ifadesine bölelim:
\frac{36}{x - 8} = x + 8
(x - 8)(x + 8) = 36
x^2 - 64 = 36 \implies x^2 = 100 \implies x = 10 \text{ birim}
CEVAP: 10 birim (|DC| = 10)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kenarlar arasındaki fark b - c = 6 ve dik kenarlardan biri 8 + x olduğunda, 3 - 4 - 5 özel üçgeninin katları (18 - 24 - 30) doğrudan akla getirilerek c = 24, b = 30, |BC| = 18 \implies x = 18 - 8 = 10 pratik kontrolü saniyeler içinde yapılabilir.