\12
ABC dik üçgen
[AB] L [BC]
m (BAC) = 30
|AC| = 12 cm
Yukanda verilenlere göre, |AB| =X kaç cm dir?
30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgeninde Kenar Uzunluğu Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ dik üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki oranlar:
- 90^\circ’nin karşısındaki kenar (hipotenüs): 2k
- 30^\circ’nin karşısındaki kenar: k
- 60^\circ’nin karşısındaki kenar: k\sqrt{3}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Üçgenin Açılarını Belirleme
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180^\circ’dir. ABC üçgeninde m(\widehat{B}) = 90^\circ ve m(\widehat{BAC}) = 30^\circ olarak verildiğine göre, C köşesindeki açıyı bulalım:
m(\widehat{C}) = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ
Bu üçgen bir 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ özel dik üçgenidir.
Adım 2 — Hipotenüs Yardımıyla 30^\circ’nin Karşısındaki Kenarı Bulma
Hipotenüs uzunluğu |AC| = 12\text{ cm} olarak verilmiştir. Kurala göre hipotenüs 2k değerine eşittir:
2k = 12\text{ cm} \implies k = 6\text{ cm}
30^\circ’nin karşısındaki kenar |BC| = k = 6\text{ cm} olur.
Adım 3 — 60^\circ’nin Karşısındaki Kenarı (x) Hesaplama
İstenen |AB| = x uzunluğu, 60^\circ’lik açının karşısındaki kenardır. Kural gereği bu kenarın uzunluğu k\sqrt{3} kadardır:
x = |AB| = k\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 6\sqrt{3}\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- 30^\circ-60^\circ-90^\circ Üçgeni: Hipotenüsün yarısı her zaman 30^\circ’nin karşısındaki kenara eşittir; 60^\circ’nin karşısı ise bu kenarın \sqrt{3} katıdır.
- Trigonometrik Oran: İstenirse aynı değer \cos(30^\circ) = \frac{x}{12} \implies x = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\text{ cm} bağıntısıyla da doğrulanabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 30^\circ’nin karşısını 6\sqrt{3}, 60^\circ’nin karşısını 6\text{ cm} olarak karıştırmak.- Doğru Yaklaşım: Büyük açının karşısında daima daha büyük kenar bulunur (60^\circ > 30^\circ olduğu için 6\sqrt{3} > 6).
Bu konuyu pekiştirmek için 45^\circ - 45^\circ - 90^\circ özel üçgeniyle ilgili benzer bir soru çözmek ister misin?