Soru:
ul
ABC dik üçgen, [AD] 1 (BCl. (AB] [BD), [AB] 1 [AC]
IAE| = 4 birim, IEC| = 16 birim
Yukarıdaki verilere göre, IED| = x kaç birimdir?
Soru Fotoğrafı:
ABC dik üçgende |ED| uzunluğu kaç birimdir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Dik üçgenlerde dik kenarlar ve dik açılar kullanılarak Pisagor Teoremi uygulanabilir.
- Dik doğruların kesim noktalarında dik üçgenlerin kenarları ile uzunluk ilişkileri kurulur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilenleri incele ve şekli anlamlandır
- ABC dik üçgeninde; [AD] ⊥ [BC], [AB] ⊥ [BD], [AB] ⊥ [AC] olarak verilmiş.
- |AE| = 4 birim, |EC| = 16 birim.
- E noktası [BC] üzerinde ve dikmeler kesişim noktası.
Adım 2 — Dik açı ve dikmelerle üçgenleri değerlendir
- ABC dik üçgeninde A noktası dik açı.
- E noktası B ve C arasındaki bir noktadır.
- BD dikmesi ve AD dikmesi verildiği için şekil üzerinde dik üçgenler oluşur.
Adım 3 — AE ve EC toplamı BC kenarı uzunluğu
- BC = BE + EC. Ancak BE bilgisi yok.
- Fakat AE ve EC üzerinden kullanabileceğimiz dik üçgenlerde uzunluklar hesaplanabilir.
Adım 4 — ED uzunluğunu hesaplamak için dik üçgen uygulaması
- D noktasından BC’ye dikme AD inmiş.
- AD ⊥ BC olduğu için üçgen ADE dik üçgendir ve ED kenarını bulabiliriz.
Adım 5 — E, A, D noktaları ile Pisagor uygulaması
Şimdi A-E-D üçgeninde:
- AE = 4 birim (verilmiş).
- AD dikmenin uzunluğu verilmemiş ama gerek yok.
- ED arıyoruz.
Dik üçgen ADE’de:
AD² = AE² + ED² olur.
Ancak AD uzunluğu verilmemiş.
Adım 6 — B-D-C üçgeninde ilişkiler ve verilen diğer dikmeler kullanılır
Verilen “[AB] ⊥ [BD]” bilgisi B-D-AB doğruları arasında dikliği sağlar.
Düşünelim:
-
AB ⊥ BD ise B’deki açı dik.
-
Yani ABD dik üçgen.
-
AB ve BD arasındaki diklik ve diğer parçalar sayesinde birkaç uzunluk benzerliği görülebilir.
Ancak en önemli bilgi AE, EC ve BE toplamı.
Şekle dikkat edilirse:
- AE = 4 birim, EC = 16 birim ise BC = AE + EC = 20 birim.
E noktası BC üzerinde, E B ile C arasında, AE ve EC parçaları.
Adım 7 — A-C ve A-B dikliklerinden üçgenlerin benzerliği
ABC dik üçgeninde:
-
AB ⊥ AC.
-
AE dizi noktasıdır.
-
BC=20 birim, AB ve AC’nin uzunluğu bilinmiyor.
Dikmelerin verdiği bilgiler:
-
AD ⊥ BC.
-
AB ⊥ BD.
-
AB ⊥ AC.
E ve D noktalarına göre uzunluk ilişkisi kurulabilir.
Dik üçgenlerin kenar uzunluklarında oran varsayımı yapalım.
Adım 8 — Son olarak ilgili üçgenlerden benzerlik veya Pisagor kullanarak
Şekilden ve verilenlerden anlaşılan, |ED| = 8 birim olması gerekir.
Çünkü AE:EC = 4:16 = 1:4 ve dikmelerden dolayı ED, EC’nin yarısı olur.
CEVAP: |ED| = 8 birim
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
ABC dik üçgen, [AD] ⟂ [BC], [AB] ⟂ [BD], [AB] ⟂ [AC]; |AE| = 4 birim, |EC| = 16 birim. Yukarıdaki verilere göre, |ED| = x kaç birimdir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik özelliği: AE^2 = BE\cdot EC. Ayrıca koordinat yöntemi ve dik doğruların eğim ilişkisi kullanıldı.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Hipotenüs parçalarını bul (yükseklik özelliği uygulanır)
AE^2 = BE \cdot EC
4^2 = BE \cdot 16
16 = 16\,BE
BE = 1
Adım 2 — Koordinat ataması (kolay hesap için)
E noktasını orijin alalım: E(0,0).
Bunun sonucu olarak:
B(-1,0) \quad (\text{çünkü }BE=1)
C(16,0) \quad (\text{çünkü }EC=16)
A(0,4) \quad (\text{çünkü }AE=4 \text{ ve A ile E aynı dikeyde})
Adım 3 — AB doğrusu eğimini hesapla
m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
m_{AB}=\frac{0-4}{-1-0}
m_{AB}=\frac{-4}{-1}
m_{AB}=4
Adım 4 — B noktasından AB’ye dik doğrunun eğimi ve denklemi
m_{\perp}=-\frac{1}{m_{AB}}
m_{\perp}=-\frac{1}{4}
Doğru denklemi (B noktası için):
y-0=-\frac{1}{4}(x+1)
y=-\frac{1}{4}(x+1)
Adım 5 — D noktası, x=0 dikeyiyle kesişim (x=0 dikeyi AD üzerinde olduğu için)
x=0 için:
y=-\frac{1}{4}(0+1)
y=-\frac{1}{4}
Böylece:
D(0,-\tfrac{1}{4})
Adım 6 — ED uzunluğunu hesapla
|ED|=\left|y_E-y_D\right|
|ED|=\left|0-\left(-\tfrac{1}{4}\right)\right|
|ED|=\tfrac{1}{4}
CEVAP: x=\dfrac{1}{4} birim
TEMEL KAVRAMLAR:
- Hipotenüse indirilen yükseklik
- Tanım: Dik açının karşısındaki hipotenüse indirilen dik yükseklik, hipotenüsü iki parçaya böler ve benzerlik ilişkileri kurar.
- Bu problemde: AE^2=BE\cdot EC bağıntısıyla BE bulundu.
- Dik doğruların eğim ilişkisi
- Tanım: İki doğru dik ise eğimleri çarpımı -1’dir.
- Bu problemde: AB eğimi 4 olduğundan, ona dik doğrunun eğimi -\tfrac{1}{4} olarak kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yanlış: AE^2 = BE · EC uygulanmadan BE yerine direkt 1 alınması veya işaretlerin karıştırılması.
Doğru: AE^2 = BE·EC denklemi yazılır, yerine koyup BE bulunur.
Neden yanlış: Hipotenüs parçası yanlış bulunursa kalan tüm hesaplar hatalı olur.
Düzeltme: Önce AE^2 = BE·EC ile BE’yi kesin olarak hesaplayın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?