ABC bir üçgen Yukarıdaki verilere göre A(BFEA)/A(ABC) oranı kaçtır?

Question Answer
1

ABC bir üçgen
|BF| = |FC|
|AE| = 1 cm
|EC| = 4 cm
Yukarıdaki verilere göre \frac{A(BFEA)}{A(ABC)} oranı kaçtır?
A) \frac{3}{4}
B) \frac{2}{5}
C) \frac{3}{5}
D) \frac{2}{7}
E) \frac{3}{7}

ABC bir üçgen Yukarıdaki verilere göre A(BFEA)/A(ABC) oranı kaçtır?
ABC bir üçgen Yukarıdaki verilere göre A(BFEA)/A(ABC) oranı kaçtır?1024×489 124 KB

2

Üçgende Alan Oranları ve Dörtgenin Alanı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir açısı ortak olan üçgenlerin alanları oranı, o açıyı oluşturan kenarların uzunlukları çarpımının oranına eşittir:
\frac{A(EFC)}{A(ABC)} = \frac{|CE| \cdot |CF|}{|CA| \cdot |CB|}
  • Dörtgenin alanı:
A(BFEA) = A(ABC) - A(EFC)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kenar Uzunluklarını Belirleme

  • AC kenarının tamamı:
|AC| = |AE| + |EC| = 1\text{ cm} + 4\text{ cm} = 5\text{ cm}
  • |BF| = |FC| olduğundan, F noktası [BC] kenarının orta noktasıdır:
\frac{|CF|}{|CB|} = \frac{1}{2}

Adım 2 — EFC Üçgeninin Alanının ABC Üçgeninin Alanına Oranını Bulma
C tepe açısı hem EFC hem de ABC üçgeninde ortak olduğundan, sinüslü alan formülü yardımıyla oran kuralı uygulanır:

\frac{A(EFC)}{A(ABC)} = \frac{|CE|}{|CA|} \cdot \frac{|CF|}{|CB|}
\frac{A(EFC)}{A(ABC)} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

Buradan:

A(EFC) = \frac{2}{5} A(ABC)

Adım 3 — Boyalı BFEA Dörtgeninin Alanını ve İstenen Oranı Hesaplama
Boyalı bölgenin alanı, büyük üçgenin alanından beyaz üçgenin (EFC) alanı çıkarılarak bulunur:

A(BFEA) = A(ABC) - A(EFC)
A(BFEA) = A(ABC) - \frac{2}{5} A(ABC) = \frac{3}{5} A(ABC)

Bizden istenen oran:

\frac{A(BFEA)}{A(ABC)} = \frac{\frac{3}{5} A(ABC)}{A(ABC)} = \frac{3}{5}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) \frac{3}{5}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Ortak Açılı Üçgenlerde Alan Oranı: İki üçgenin birer açısı eşit veya ortak ise, bu üçgenlerin alanlarının oranı, bu ortak açıyı oluşturan kenarların çarpımlarının oranına eşittir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: |AE| = 1\text{ cm} ve |EC| = 4\text{ cm} oranını doğrudan taban oranı gibi düşünüp EF doğru parçasını tabana paralel (AB \parallel EF) kabul etmek ve benzerlik kurmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Soruda paralellik verilmemiştir. Bu nedenle benzerlik oranı yerine, ortak açının kollarının çarpımına dayalı alan bağıntısı kullanılmalıdır.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?