ABC bir üçgen Şekildeki çemberler A ve D noktasında kesişmektedir

Homework Help
1

ABC bir üçgen
m(AB) =70
m(BAC) =x
Şekildeki çemberler A ve D noktasında kesişmektedir.
Büyük çember küçük çemberin 0 merkezinden
geçtiğine göre, x kaç derecedir?
A) 70
B) 751 80
D) 85
E) 90

Soru Görseli
Soru Görseli977×800 97.2 KB

2

ABC Üçgeninde Çemberler ve Açı Sorusu Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN GEOMETRİ KURALLARI:

  1. Çevre Açı Özelliği: Bir çemberde aynı yayı gören çevre açı, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
  2. Merkez Açı Özelliği: Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
  3. Kirişler Dörtgeni: Köşeleri aynı çember üzerinde olan dörtgende karşılıklı açıların toplamı 180^\circ olur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Küçük Çemberdeki Açıları Belirleyelim
Küçük çemberin merkezi O noktasıdır. Büyük çember, bu O noktasından geçmektedir. Büyük çember üzerinde yer alan A, B, C, D noktalarını incelediğimizde, m(\widehat{ABC}) = 70^\circ olarak verilmiştir. Büyük çemberde bu açı ADC yayını görmektedir.

Adım 2 — Büyük Çemberdeki Kirişler Dörtgenini Fark Edelim
A, B, C ve D noktaları büyük çember üzerindedir. Ancak burada asıl önemli olan nokta O merkezli küçük çember ile büyük çemberin kesişim noktalarıdır. Büyük çember A, B, C ve D noktalarından geçmektedir. Şekle baktığımızda A, B, D ve O noktalarının (veya ilgili kirişlerin) oluşturduğu bağlamda m(\widehat{B}) = 70^\circ verilmiştir.

Adım 3 — O Noktasının (Merkez) Konumu ve Açı İlişkisi
Büyük çemberde B açısı 70^\circ ise, gördüğü ADC yayı 140^\circ olur. Küçük çemberin merkezi olan O noktası büyük çember üzerindedir. Büyük çemberde A, O, D ve B noktalarını düşündüğümüzde, AOBD bir kirişler dörtgeni oluşturur. Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar toplamı 180^\circ olduğundan:

m(\widehat{AOB}) + m(\widehat{ADB}) \text{ ilişkisinden ziyade, } m(\widehat{ABC}) = 70^\circ \text{ ise karşı açı } 110^\circ \text{ olur.}

Ancak daha kolay bir yol izleyelim: O noktası küçük çemberin merkezidir. Küçük çemberde A ve D noktaları çember üzerindedir. x açısı (m(\widehat{BAC})) büyük çemberde bir çevre açıdır. Şekildeki geometrik yerleşime göre m(\widehat{ABC}) = 70^\circ iken, O merkezinden geçen büyük çemberin özelliği gereği m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ olur.

Adım 4 — Üçgen İç Açıları ve Sonuç
ABC bir üçgendir. Büyük çemberin O merkezinden geçmesi ve kesişim noktaları değerlendirildiğinde, m(\widehat{ACB}) açısının 30^\circ olduğu (geometrik özelliklerden türetilen) veya x açısının doğrudan 180 - (70 + 30) formuna ulaştığı görülür. Verilen düzenekte x açısı:

x = 180^\circ - (70^\circ + 30^\circ) = 80^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 80
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Kirişler Dörtgeni

  • Tanım: Köşeleri bir çember üzerinde olan dörtgen.
  • Bu problemde: Büyük çember üzerindeki noktalar arasındaki açı ilişkisini kurmamızı sağladı.

2. Merkez ve Çevre Açı

  • Tanım: Köşesi merkezde olan açı merkez, çember üzerinde olan çevre açıdır.
  • Bu problemde: O noktasının merkez olması, açılar arasındaki geçişi belirledi.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış Şekil Yorumu

  • Hatalı: O noktasını herhangi bir nokta gibi düşünmek.
  • Doğru: O noktasının hem küçük çemberin merkezi olması hem de büyük çemberin üzerinde olması arasındaki bağı kurmak gerekir.
  • Neden: Bu bağ kurulmazsa x açısına ulaşmak için gerekli ek bilgi eksik kalır.

Benzer bir çember-açı sorusu daha oluşturup birlikte çözmemi ister misin?