ABC bir üçgen
[DE] // [BC]
|EC| = 2 |AE|
Alan(ADE) = 6 cm^2
Yukarıdaki verilere göre Alan(DBC) kaç cm^2 dir?
A) 27
B) 32
C) 36
D) 40
E) 45
Üçgende Benzerlik ve Alan İlişkisi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Benzerlik ve Alan Oranı: İki benzer üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir:\frac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(ABC)} = k^2
- Yükseklikleri Eşit Üçgenlerin Alan Oranı: Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır:\frac{\text{Alan}_1}{\text{Alan}_2} = \frac{\text{Taban}_1}{\text{Taban}_2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Benzerlik Oranının Bulunması
[DE] \parallel [BC] olduğundan, Temel Benzerlik Teoremi gereği \triangle ADE \sim \triangle ABC olur.
|AE| = k denirse, verilen |EC| = 2|AE| eşitliğinden |EC| = 2k olur. Buradan:
|AC| = |AE| + |EC| = k + 2k = 3k
Benzerlik oranı (k_{b}):
k_{b} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{k}{3k} = \frac{1}{3}
Adım 2 — Tüm Üçgenin Alanının Hesaplanması
Benzer iki üçgenin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşit olduğundan:
\frac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(ABC)} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}
\text{Alan}(ADE) = 6\text{ cm}^2 verildiğinden:
\text{Alan}(ABC) = 9 \times 6 = 54\text{ cm}^2
Adım 3 — Taban-Alan İlişkisi ile İstenen Alanın Bulunması
[DE] \parallel [BC] olduğu için Thales Teoremi gereği AB kenarındaki oran da aynıdır:
\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}
Buradan |AD| = m ise |DB| = 2m ve |AB| = 3m olur.
\triangle ADC ve \triangle DBC üçgenlerinin C köşesinden AB doğrusuna indirilen yükseklikleri ortaktır. Bu nedenle alanları tabanları ile orantılıdır:
\frac{\text{Alan}(ADC)}{\text{Alan}(DBC)} = \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{m}{2m} = \frac{1}{2}
Tüm alan \text{Alan}(ABC) = \text{Alan}(ADC) + \text{Alan}(DBC) = 54\text{ cm}^2 olduğuna göre:
\text{Alan}(DBC) = \frac{2}{3} \times \text{Alan}(ABC)
\text{Alan}(DBC) = \frac{2}{3} \times 54 = 36\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 36
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Benzerlik ve Alan İlişkisi: Bir üçgenin kenarları n katına çıktığında, alanı n^2 katına çıkar.
- Yükseklikleri Ortak Üçgenler: Tepe noktası aynı doğru parçasına ait olan üçgenlerde alan paylaşımı doğrudan taban uzunlukları oranına bağlıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Kenar oranı \frac{1}{2} olduğu için alan oranını da doğrudan \frac{1}{4} almak ve yamuğun alanını doğru parçalamadan işlem yapmak.- Doğru Yaklaşım: Küçük üçgen ile büyük üçgen arasındaki benzerlik oranının \frac{1}{3} olduğunu belirleyip, tüm alanı bulduktan sonra ortak tepe noktasına göre taban oranından (1:2) paylaştırmak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?