ABC) açIsinın ölçüsünün kaç radyan olduğunu bulmak Buna göre Eslem aşağıdaki ifadelerden hangisi ile (ABC) açısinın

Maths Question
1

Soru:
10. Eslem, birim kareler üzerine çizdiği ABC üçgeninde
ABC) açIsinın ölçüsünün kaç radyan olduğunu bulmak
istiyor.
Buna göre Eslem aşağıdaki ifadelerden hangisi ile
(ABC) açısinın ölçüsünü doğru hesaplayabilir?

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

Eslem’in ABC açısının ölçüsünü radyan cinsinden doğru hesaplama ifadesi hangisidir?

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Açı Ölçüsünün Radyan Cinsinden Anlamı
Bir açının radyan ölçüsü, o açının oluşturduğu yay uzunluğunun yarıçapa oranıdır. Burada, açının ölçüsünü hesaplamak için üçgenin kenar uzunluklarını kullanarak trigonometrik oranlar bulunabilir.

Adım 2 — Üçgenin Kenarlarını Belirleme
Birim kareler üzerinde çizilmiş ABC üçgeninde, B noktası açının köşesi. A ve C noktaları ile B noktası arasındaki mesafeler kenar uzunluklarıdır.
Örneğin, AB uzunluğu \sqrt{(4)^2 + (2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ve BC uzunluğu \sqrt{(3)^2 + (1)^2} = \sqrt{10} olarak bulunur.

Adım 3 — Kosinüs Teoremi Kullanarak Açı Ölçüsünü Bulma
ABC üçgenindeki açı \angle ABC için kosinüs teoremini kullanabiliriz:

\cos(\angle ABC) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC}

Burada AC kenar uzunluğu da yine benzer şekilde hesaplanır.

Adım 4 — Açı Değerini Radyana Çevirme
Hesaplanan kosinüs değerinden açının ölçüsünü radyan cinsinden bulmak için ters kosinüs fonksiyonu (arccos) kullanılır:

\angle ABC = \arccos(\text{bulunan değer})

Bu nedenle;

Doğru İfade:

\angle ABC = \arccos\left(\frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC}\right)

Başka ifadelerden biri veya sadece açının kenar uzunlukları arasında orantı gösterilirse, radyan cinsinden doğru açıyı bulamaz.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

yanlış cevap

4

Eslem’in ABC açısının ölçüsünü radyan cinsinden doğru hesaplama ifadesi hangisidir?

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Üçgen Kenarlarını İfade Etme
Verilen şekilde, açının köşesi B noktasıdır. Bu yüzden \angle ABC açısını hesaplamak için B noktasındaki kenarların uzunluklarına ve oranlarına bakılır.

Adım 2 — Kenar Uzunluklarını Hesaplama

  • AB = \sqrt{(4)^2 + (2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
  • BC = \sqrt{(3)^2 + (1)^2} = \sqrt{10}
  • AC = \sqrt{(7)^2 + (1)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}

Adım 3 — Kosinüs Teoremi Uygulama

\cos(\angle ABC) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC}

Adım 4 — Açı Ölçüsünü Bulma ve Radyan Cinsine Çevirme
Açının radyan cinsinden ölçüsü:

\angle ABC = \arccos\left(\frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC}\right)

Adım 5 — Doğru İfadeyle Eşleştirme
Soruda verilen seçenekler arasında, bu ifadeyi doğru kullanan seçenek, açının radyan cinsinden ölçüsünü bulmada doğrudur.

Sonuç:
Eslem, \angle ABC açısının radyan cinsinden ölçüsünü doğru hesaplamak için

\angle ABC = \arccos\left(\frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC}\right)

ifadesini kullanmalıdır.

Başka ifadeler, örneğin sadece kenar oranlarını vermek ya da derece cinsinden hesaplamak radyan sonucunu vermez.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

5

Eslem, birim kareler üzerine çizdiği ABC üçgeninde (ABC) açısının ölçüsünün kaç radyan olduğunu bulmak istiyor.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

İki vektör arasındaki açı formülü:

\cos\theta=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Koordinatları belirle

BA vektörü:

\mathbf{BA}=(-4,\;2)

BC vektörü:

\mathbf{BC}=(3,\;1)

Adım 2 — İç çarpım ve uzunlukları hesapla

İç çarpım:

\mathbf{BA}\cdot\mathbf{BC}=(-4)\cdot 3 + 2\cdot 1
=-12 + 2
=-10

BA uzunluğu:

|\mathbf{BA}|=\sqrt{(-4)^2 + 2^2}
=\sqrt{16 + 4}
=\sqrt{20}
=2\sqrt{5}

BC uzunluğu:

|\mathbf{BC}|=\sqrt{3^2 + 1^2}
=\sqrt{9 + 1}
=\sqrt{10}

Adım 3 — Kosinüsü hesapla

\cos\theta=\dfrac{\mathbf{BA}\cdot\mathbf{BC}}{|\mathbf{BA}||\mathbf{BC}|}
\cos\theta=\dfrac{-10}{2\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}
\cos\theta=\dfrac{-10}{2\sqrt{50}}
\cos\theta=\dfrac{-10}{2\cdot 5\sqrt{2}}
\cos\theta=\dfrac{-10}{10\sqrt{2}}
\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Adım 4 — Açıyı bul

\theta=\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
\theta=\dfrac{3\pi}{4}

:white_check_mark: CEVAP: \dfrac{3\pi}{4} radyan

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. İç çarpım
  • Tanım: İki vektörün bileşenlerinin çarpımlarının toplamıdır.
  • Bu problemde: İç çarpım açı kosinüsünü hesaplamak için kullanıldı.
  1. Radyan
  • Tanım: Bir açının radyan cinsinden ölçüsü, yay uzunluğunun yarıçapa oranıdır.
  • Bu problemde: Sonuç radyan cinsinden ifade edildi (\dfrac{3\pi}{4}).

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Vektör yönlerini karıştırmak

  • Yanlış: BA yerine AB alınırsa işaretler ters olur ve sonuç hatalı çıkar.
  • Doğru: BA = A − B; BC = C − B alınmalıdır.
  • Neden yanlış: İşaretlerin ters olması iç çarpımı ve dolayısıyla kosinüs değerini değiştirir.
  • Düzeltme: Her zaman vektörü hedef noktadan başlangıç noktası çıkararak bulun.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?