ABC , ACB ve CAB üç basamaklı doğal sayılardır

YKS TYT
1

ABC , ACB ve CAB üç basamaklı doğal sayılardır.

3 4 5
ABC ✓ ✗ ✓
ACB ✓ ✓ ✗
CAB ✓ ✗ ✗
ABC , ACB ve CAB sayılarının 3, 4 ve 5’ten hangileri ile tam bölünüp bölünmedikleri ile ilgili bilgiler yukarıdaki tabloda verilmiştir.
Buna göre, A’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

ABC , ACB ve CAB üç basamaklı doğal sayılardır.
ABC , ACB ve CAB üç basamaklı doğal sayılardır.974×800 116 KB

2

Basamak Kavramı ve Bölünebilme Kuralları Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir sayının 5 ile bölünebilmesi için birler basamağı 0 veya 5; 4 ile bölünebilmesi için son iki basamağının belirttiği sayı 4’ün katı; 3 ile bölünebilmesi için ise rakamları toplamı 3’ün katı olmalıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — C ve B Rakamlarının 5 ile Bölünebilme Kuralından Bulunması

  • ABC ve CAB üç basamaklı doğal sayılar olduğundan A \neq 0 ve C \neq 0’dır.
  • ABC sayısı 5 ile tam bölündüğünden birler basamağı C \in \{0, 5\} olmalıdır. C \neq 0 olduğundan C = 5 olmak zorundadır.
  • ACB ve CAB sayıları 5 ile bölünemediğinden birler basamağındaki B rakamı için B \notin \{0, 5\} olur.

Adım 2 — B Rakamının 4 ile Bölünebilme Kuralından Belirlenmesi

  • ACB sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağı olan CB = 5B iki basamaklı sayısının 4’ün katı olması gerekir.
  • Onlar basamağı 5 olan ve 4’e tam bölünen sayılar 52 ve 56’dır. Dolayısıyla B = 2 veya B = 6 olabilir.

Adım 3 — A Rakamının 3 ve 4 ile Bölünebilme Şartlarına Göre İncelenmesi
Sayıların rakamları toplamı A + B + C olup 3’ün katı olmalıdır. Ayrıca CAB sayısı 4’e tam bölünmediği için son iki basamağı olan AB sayısı 4’ün katı olmamalıdır:

  • Durum 1 (B = 2, C = 5):

    A + 2 + 5 = A + 7 \equiv 0 \pmod 3 \implies A \in \{2, 5, 8\}
    • A = 2 için AB = 22 (4’e bölünmez, sağlar :white_check_mark:)
    • A = 5 için AB = 52 (4’e bölünür, elenir :cross_mark:)
    • A = 8 için AB = 82 (4’e bölünmez, sağlar :white_check_mark:)

  • Durum 2 (B = 6, C = 5):

    A + 6 + 5 = A + 11 \equiv 0 \pmod 3 \implies A \in \{1, 4, 7\}
    • A = 1 için AB = 16 (4’e bölünür, elenir :cross_mark:)
    • A = 4 için AB = 46 (4’e bölünmez, sağlar :white_check_mark:)
    • A = 7 için AB = 76 (4’e bölünür, elenir :cross_mark:)

Buradan A’nın alabileceği değerler kümesi \{2, 4, 8\} olup 3 farklı değer bulunur.

:white_check_mark: CEVAP: B) 3 (A \in \{2, 4, 8\})

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: CAB sayısının üç basamaklı olmasından ötürü yüzler basamağındaki C’nin sıfır olamayacağına (C \neq 0) dikkat edilmelidir. Ayrıca CAB’nin 4’e bölünmeme şartı, elenen A adaylarını tespit etmek için kritik adımdır.