ABA üç basamaklı doğal sayısınin iki basamaklı A7 sayısına bölümünde bölüm 10 ve kalan 5'tir

[Oguzhan_Elkan (Oğuzhan Elkan)]

ABA üç basamaklı doğal sayısınin iki basamaklı A7 sayısına
bölümünde bölüm 10 ve kalan 5’tir.
Buna göre, ABA sayısının rakamlar toplamı kaçtır?
A) 19
B) 17
C) 15
D) 14
E) 12
2.C
3.1C
4. B

[Egitim_Danismani (Sorumatik Eğitim Danışmanı)]

The user wants me to solve a math question from an image/text in a Discourse forum context.

Question details:
“ABA üç basamaklı doğal sayısının iki basamaklı A7 sayısına bölümünde bölüm 10 ve kalan 5’tir. Buna göre, ABA sayısının rakamlar toplamı kaçtır?”
Options:
A) 19
B) 17
C) 15
D) 14
E) 12

Answer key in image: 4. B (17)

Internal Calculation (Pre-computation mandatory):

• Division algorithm:
  \text{Bölünen} = \text{Bölen} \times \text{Bölüm} + \text{Kalan}
  ABA = A7 \times 10 + 5
  Condition: \text{Kalan} < \text{Bölen} \implies 5 < A7 (holds for any positive digit A \ge 1).

• Expand both sides in base 10:
  ABA = 100A + 10B + A = 101A + 10B
  A7 = 10A + 7
  A7 \times 10 + 5 = (10A + 7) \times 10 + 5 = 100A + 70 + 5 = 100A + 75

• Equate:
  101A + 10B = 100A + 75
  101A - 100A + 10B = 75
  A + 10B = 75

• Since A and B are digits (A, B \in \{0, 1, 2, \dots, 9\} and A \neq 0 because ABA and A7 are numbers with leading digit A):
  10B + A = 75
  Notice that 10B + A is simply the two-digit number BA.
  Therefore, BA = 75 \implies B = 7 and A = 5.

• Check digits:
  A = 5, B = 7.
  ABA = 575.
  A7 = 57.
  575 / 57:
  57 \times 10 = 570.
  575 - 570 = 5 (kalan 5).
  Bölüm = 10, Kalan = 5. Verified!

• Question asks: “ABA sayısının rakamlar toplamı kaçtır?”
  Rakamlar toplamı = A + B + A = 5 + 7 + 5 = 17.

• Option B is 17. Matches answer key!

Template Selection:
This is a Numerical Question (Section 3.1) or Multiple Choice Question?
Wait, Section 2 states:
“FLASH ROUTING RULE: Read the user’s input carefully. If it contains numbers, equations, formulas, or asks to solve a math/physics problem, YOU MUST ABANDON ALL OTHER TEMPLATES and strictly use Section 3.1 Numerical Questions. Do not use the SEO or Article format for math problems!”

Let’s check Section 3.1:

{Brief restatement of the question}

{RULE / FORMULA USED:} {Write the formula before solving}
{SOLUTION STEPS:}
Step 1 — {Step Title} …
Step 2 — {Step Title} …
(Add as many steps as needed)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
{ANSWER:} {Clear result with units}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
{KEY CONCEPTS:}
1. {Concept Name}

• {Definition:}
• {In this problem:}
  {COMMON MISTAKES:}
  {Mistake Title}
• {Wrong:}
• {Right:}
• {Why it’s wrong:}
  {Insert Section 13 - Dynamic Engagement Loop here}

Wait, let’s translate all labels to Turkish!
Section 1.1:

• RULE / FORMULA USED: → KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
• SOLUTION STEPS: → ÇÖZÜM ADIMLARI:
• Step 1 — … → Adım 1 — …
• Step 2 — … → Adım 2 — …
• ANSWER: → CEVAP:
• KEY CONCEPTS: → TEMEL KAVRAMLAR:
• Definition: → Tanım:
• In this problem: → Bu problemde:
• COMMON MISTAKES: → SIK YAPILAN HATALAR:
• Wrong: → Yanlış:
• Right: → Doğru:
• Why it’s wrong: → Neden yanlış:

Make sure:

• No bracket placeholders left in the output.
• Zero thinking-aloud phrases.
• All numbers, formulas wrapped in $ or $$.
• MathJax clean formatting.
• Dynamic Engagement Loop at the end (active question).## ABA Sayısının Rakamları Toplamının Bulunması

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

1. Bölme Özdeşliği:
   \text{Bölünen} = (\text{Bölen} \times \text{Bölüm}) + \text{Kalan} \quad (\text{Kalan} < \text{Bölen})
2. Basamak Analizi (Çözümleme):
   • Üç basamaklı sayı: ABA = 100A + 10B + A = 101A + 10B
   • İki basamaklı sayı: A7 = 10A + 7

---

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Bölme Özdeşliğini Kurma
Verilen bölme işleminde bölünen ABA, bölen A7, bölüm 10 ve kalan 5’tir. Bölme bağıntısı denklem halinde yazılır:

ABA = (A7 \times 10) + 5

(Burada kalan olan 5, bölenden yani A7 sayısından küçük olmalıdır: 5 < A7. Bu şart pozitif tüm A rakamları için sağlanır.)

Adım 2 — Sayı Basamaklarını Çözümleme
Eşitliğin her iki tarafındaki sayıları basamak değerlerine göre açalım:

• Sol taraf: ABA = 100A + 10B + A = 101A + 10B
• Sağ taraf: A7 \times 10 + 5 = (10A + 7) \times 10 + 5

(10A + 7) \times 10 + 5 = 100A + 70 + 5 = 100A + 75

Adım 3 — Denklemi Sadeleştirme ve Rakamları Bulma
Elde edilen iki ifadeyi birbirine eşitleyelim:

101A + 10B = 100A + 75

100A ifadesini eşitliğin sol tarafına atalım:

101A - 100A + 10B = 75

A + 10B = 75

10B + A ifadesi, onlar basamağı B ve birler basamağı A olan BA iki basamaklı sayısının çözümlenmiş hâlidir:

BA = 75

Buradan:

• B = 7
• A = 5

(Sağlama: ABA = 575 ve A7 = 57. Gerçekten de 575 = 57 \times 10 + 5 eşitliği sağlanır.)

Adım 4 — ABA Sayısının Rakamları Toplamını Hesaplama
Bizden istenen değer A + B + A toplamıdır:

A + B + A = 5 + 7 + 5 = 17

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Bölme Bağıntısı

• Tanım: Bir bölme işleminde bölünen sayı, bölen ile bölümün çarpımına kalanın eklenmesiyle elde edilir.
• Bu problemde: ABA = (A7 \times 10) + 5 eşitliği kurularak cebirsel çözüme gidilmiştir.

2. Basamak Kavramı

• Tanım: Çok basamaklı bir sayının basamak değerleri toplamı biçiminde ifade edilmesidir.
• Bu problemde: 10B + A toplamının doğrudan iki basamaklı BA sayısına karşılık geldiği görülerek A ve B tek hamlede bulunmuştur.

SIK YAPILAN HATALAR:

A+B Toplamını Almak

• Yanlış: Yalnızca A + B = 5 + 7 = 12 hesaplayıp E şıkkını işaretlemek.
• Doğru: Soruda üç basamaklı ABA sayısının rakamlar toplamı sorulduğu için A + B + A = 5 + 7 + 5 = 17 hesaplanmalıdır.
• Neden yanlış: A rakamı sayıda hem yüzler hem de birler basamağında olmak üzere iki kez yer almaktadır.

---

Benzer tipte basamak analizi ve kalanlı bölme sorularından bir tane daha pratik yapmak ister misin?