AB ve CD iki basamaklı doğal sayılardır.
• \frac{A}{C} = 3 , \frac{B}{D} = 2
• AB + CD = 89
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, AB - CD farkı kaçtır?
A) 56
B) 53
C) 48
D) 43
E) 41
Basamak Kavramı ve Sayı Çözümleme ile İki Basamaklı Sayı Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki basamaklı bir XY sayısı, basamak çözümleme kuralına göre XY = 10X + Y şeklinde ifade edilir; soruda verilen rakamsal oranlar doğrudan basamak değerlerinin yerine yazılarak bilinmeyenler bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Rakamlar Arasındaki İlişkilerin Belirlenmesi
AB ve CD iki basamaklı doğal sayılar olduğundan A, B, C, D birer rakam ve A \neq 0, C \neq 0’dır. Verilen oranlardan:
\frac{A}{C} = 3 \implies A = 3C
\frac{B}{D} = 2 \implies B = 2D
Adım 2 — Basamak Çözümleme ve Denklem Kurulumu
Sayıları basamak değerlerine göre yazıp taraf tarafa toplayalım:
AB = 10A + B = 10(3C) + 2D = 30C + 2D
CD = 10C + D
AB + CD = (30C + 2D) + (10C + D) = 40C + 3D = 89
Adım 3 — Rakam Değerlerinin Bulunması
C ve D birer rakam olduğundan 40C + 3D = 89 eşitliğini sağlayan değerleri inceleyelim:
- C = 1 için 40(1) + 3D = 89 \implies 3D = 49 (D tam sayı çıkmaz).
- C = 2 için 40(2) + 3D = 89 \implies 80 + 3D = 89 \implies 3D = 9 \implies D = 3.
- C \ge 3 için 40C \ge 120 > 89 olacağından başka çözüm yoktur.
Bu değerlere göre A ve B rakamları:
A = 3C = 3 \cdot 2 = 6
B = 2D = 2 \cdot 3 = 6
Buradan sayılarımız AB = 66 ve CD = 23 bulunur.
Adım 4 — İstenen Farkın Hesaplanması
AB - CD = 66 - 23 = 43
CEVAP: D) 43 (AB - CD = 43)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Rakam olma koşulu (0 \le \text{rakam} \le 9) ve onlar basamağının sıfır olamayacağı kuralı, Diophantus benzeri 40C + 3D = 89 denklemlerinde tek bir geçerli kök olduğunu doğrudan göstererek zaman kazandırır.