Ab ve ba İki Basamaklı Sayı Probleminin Çözümü

YKS TYT Forum
1
  1. ab ve ba iki basamaklı doğal sayılardır.
    ab
  • ba = m dir.

ab

  • ba =n dir.

m.n = 495 tir.
Buna göre, a.b çarpımı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 12
E) 15

Soru Görseli
Soru Görseli800×851 55.8 KB

2

ab ve ba İki Basamaklı Sayı Probleminin Çözümü

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]
İki basamaklı bir sayının çözümlemesi: ab = 10a + b ve ba = 10b + a şeklindedir.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — m ve n Değerlerini Çözümleme
Verilen ifadeleri basamak çözümlemesi yaparak düzenleyelim:

  • m = ab + ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)
  • n = ab - ba = (10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)

Adım 2 — m.n Çarpımını Eşitleme
Soruda m \cdot n = 495 olduğu verilmiştir. Bulduğumuz değerleri yerine koyalım:

11(a + b) \cdot 9(a - b) = 495
99 \cdot (a + b) \cdot (a - b) = 495

Adım 3 — Sadeleştirme ve İki Kare Farkı
Denklemin her iki tarafını 99’a bölelim:

(a + b) \cdot (a - b) = \frac{495}{99}
(a + b) \cdot (a - b) = 5

Burada a^2 - b^2 = 5 özdeşliğini elde ederiz.

Adım 4 — a ve b Rakamlarını Belirleme
a ve b birer rakam ve ab ile ba iki basamaklı sayılar olduğu için a, b \in \{1, 2, \dots, 9\} olmalıdır.
Çarpımları 5 olan tam sayılar sadece 5 ve 1’dir (çünkü 5 asal bir sayıdır):

  • a + b = 5
  • a - b = 1

Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
2a = 6 \implies a = 3 olur.
Denklemde yerine koyarsak:
3 + b = 5 \implies b = 2 olur.

Adım 5 — a.b Çarpımını Hesaplama
Bulduğumuz rakamları çarpalım:
a \cdot b = 3 \cdot 2 = 6

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 6 (A Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Basamak Analizi

  • [Tanım:] Sayıları basamak değerlerine göre ayırarak yazma işlemidir.
  • [Bu problemde:] ab sayısını 10a+b olarak yazarak denklemi çözülebilir hale getirdik.

2. İki Kare Farkı

  • [Tanım:] x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliğidir.
  • [Bu problemde:] (a+b)(a-b) çarpımını kullanarak rakamlar arasındaki ilişkiyi bulduk.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Çözümleme Yapmamak

  • [Yanlış:] ab ve ba ifadelerini çarpım durumunda düşünmek (a \cdot b gibi).
  • [Doğru:] Bunların iki basamaklı sayı olduğunu unutmadan 10a+b şeklinde açmak.
  • [Neden Yanlış:] Sayı basamakları verilmişse çözümleme yapılmadan sonuca ulaşılamaz.

Bu çözümdeki adımları anladın mı, yoksa basamak çözümlemesi kısmını biraz daha detaylandırmamı ister misin?