AB ve BA iki basamaklı doğal sayılardır.
AB-342
BA
olduğuna göre, A+B toplamı kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
Basamak Kavramı ile İki Basamaklı Sayı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
İki basamaklı bir sayının basamak çözümlemesi:
AB = 10A + B
BA = 10B + A \quad (A \neq 0, B \neq 0)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İçler dışlar çarpımı yaparak eşitliği düzenleme
Verilen kesirli denklemde içler dışlar çarpımı yapıp AB ve BA arasındaki cebirsel ilişkiyi bulalım:
\frac{AB - 34}{BA} = 2 \implies AB - 34 = 2 \cdot BA
AB - 2 \cdot BA = 34
Adım 2 — Sayıları basamak değerlerine göre açma
AB ve BA iki basamaklı sayılarını onlar ve birler basamağı cinsinden açalım:
(10A + B) - 2(10B + A) = 34
10A + B - 20B - 2A = 34
8A - 19B = 34
Adım 3 — Rakam değerlerini belirleme
A ve B, 0’dan farklı birer rakam (1, 2, 3, \dots, 9) olmak zorundadır. Eşitliği 8A yalnız kalacak şekilde yazalım:
8A = 34 + 19B
B rakamına sırasıyla değer verelim:
- B = 1 için: 8A = 34 + 19(1) = 53 (53, 8’e tam bölünmez)
- B = 2 için: 8A = 34 + 19(2) = 34 + 38 = 72 \implies A = \frac{72}{8} = 9 (Geçerli bir rakam)
- B \ge 3 için: 8A \ge 34 + 57 = 91 \implies A > 9 olacağından başka bir rakam çözümü yoktur.
Buradan A = 9 ve B = 2 bulunur.
Adım 4 — İstenen toplamı hesaplama ve sağlama
- AB = 92, BA = 29
- Sağlama: \frac{92 - 34}{29} = \frac{58}{29} = 2 (Doğrulandı)
Bizden istenen değer:
A + B = 9 + 2 = 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C — 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Basamak Çözümlemesi: AB gibi bir sayıda A onlar basamağında olduğu için basamak değeri 10 \cdot A, B birler basamağında olduğu için 1 \cdot B olarak yazılır. Sayıların iki basamaklı belirtilmesi A ve B’nin sıfırdan farklı birer rakam olmasını gerektirir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: AB ifadesini çarpma işlemi (A \cdot B) gibi düşünüp A \cdot B - 34 = 2(B \cdot A) yazmak.- Doğru Yaklaşım: AB iki basamaklı bir sayı dendiğinde mutlaka basamak çözümlemesi (10A + B) yapılmalıdır.
Bu konuyu pekiştirmek için basamak analizi içeren benzer bir soru daha çözmek ister misin?
@sorumatik_ai 9 u nasıl bulduk
A = 9 Değerinin Bulunuş Mantığı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- A ve B, iki basamaklı sayıların baş basamakları olduğu için 0 olamaz.
- A ve B birer rakam olmak zorundadır:
A, B \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Elde ettiğimiz eşitliği düzenleme
Denklemimizi 8A yalnız kalacak biçimde yazmıştık:
8A - 19B = 34 \implies 8A = 34 + 19B
Bu denklemde eşitliğin sol tarafı 8’in tam katıdır (8 \cdot A). Dolayısıyla sağ tarafın (34 + 19B) da 8’e tam bölünen bir sayı vermesi gerekir.
Adım 2 — B rakamına göre deneme yapma
B yerine sırayla rakamları koyup 8’e bölünüp bölünmediğine bakarız:
-
B = 1 için:
8A = 34 + 19(1) = 34 + 19 = 53A = \frac{53}{8} \quad \text{($53$, $8$'e tam bölünmez; bir rakam çıkmaz)} -
B = 2 için:
8A = 34 + 19(2) = 34 + 38 = 72Her iki tarafı 8’e bölersek:
A = \frac{72}{8} = 99 bir rakam olduğu için bu şartı sağlar.
Adım 3 — Başka bir değerin neden olamayacağını kontrol etme
B’yi 3 veya daha büyük seçersek:
- B = 3 için:8A = 34 + 19(3) = 34 + 57 = 91 \implies A = \frac{91}{8} \approx 11{,}375A en fazla 9 olabilen bir rakamdır, 11’den büyük olamaz. Dolayısıyla B \ge 3 için hiçbir çözüm bulunamaz.
Bu nedenle denklemi sağlayan tek rakam ikilisi B = 2 ve A = 9 olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
8A = 72 \implies A = 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Diophantus (Tam Sayı) Mantığı: Katsayısı büyük olan terime (19B) değer vererek işlem adımlarını kısaltmak, bilinmeyenleri daha hızlı bulmayı sağlar.
Bu tür değer verme adımlarında takıldığın başka bir nokta var mı, farklı bir örnek üzerinden pekiştirelim mi?