AB iki basamaklı doğal sayıdır.
AB + A + B = 81
olduğuna göre A \cdot B kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 15
E) 16
İki Basamaklı Sayılarda Basamak Analizi ve Değer Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki basamaklı bir AB doğal sayısı çözümlendiğinde AB = 10A + B biçiminde yazılır. Buradaki A ve B birer rakam olup iki basamaklı olma şartından dolayı A \in \{1, 2, \dots, 9\} ve B \in \{0, 1, \dots, 9\} olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sayıyı Çözümleme ve Denklemi Düzenleme
Verilen AB + A + B = 81 eşitliğinde AB sayısını basamak değerlerine ayıralım:
(10A + B) + A + B = 81
11A + 2B = 81
Adım 2 — Rakam Koşuluna Göre A ve B Değerlerini Belirleme
A ve B birer rakam olduğu için 11A ifadesi 81’e yakın ve 81 - 11A değeri pozitif çift bir sayı olmalıdır:
- A = 7 için:
11 \cdot 7 + 2B = 81 \implies 77 + 2B = 81 \implies 2B = 4 \implies B = 2
- A \le 6 alındığında 2B \ge 81 - 66 = 15 olur; B bir rakam olduğundan en fazla 9 değerini alabilir (2B \le 18), ancak 81 - 11A tek sayı kaldığı durumlarda B tam sayı çıkmaz. Dolayısıyla tek uygun ikili A = 7 ve B = 2’dir.
Adım 3 — Çarpım Değerini Hesaplama
Bulunan rakamlar yerine yazıldığında:
A \cdot B = 7 \cdot 2 = 14
CEVAP: C) 14 (A \cdot B = 14)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: 11A + 2B = 81 tipindeki Diophant denklemlerinde katsayısı büyük olan terim (11A) üzerinden sınırlandırma yapmak, diğer değerleri tek tek denemek yerine doğru sonuca saniyeler içinde ulaşmanızı sağlar.