TYT/TEM
ab iki basamaklı bir doğal say olmak üzere
ab + 165 sayısı, 165 sayısınin asal çarpanlarından biri
hariç diğerleri ile tam bölünebilmektedir.
Buna göre ab sayIsinın en büyük değeri için a-b
çarpımı kaçtır?
Prs
10. Ağ-
kap
bir
g
ab+165 Sayısının Özellikleri ve a \cdot b Çarpımı
Kullanılan Formül / Bilgi: 165 sayısının asal çarpanlarına ayrılması: 165 = 3 \times 5 \times 11.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — 165 Sayısının Asal Çarpanlarını Belirleme
165 sayısını asal çarpanlarına ayırdığımızda 3, 5 ve 11 sayılarını elde ederiz. Problemde, ab+165 sayısının bu çarpanlardan “biri hariç diğerleri ile” tam bölünebildiği belirtilmiştir. Bu durum, sayının diğer iki asal çarpanın çarpımına tam bölündüğü anlamına gelir.
Adım 2 — Durumları İnceleme
ab iki basamaklı bir sayı olduğundan 10 \le ab \le 99 aralığındadır. Bu durumda 175 \le ab+165 \le 264 olur.
- 3 ve 5 hariç (11 ile bölünenler): ab+165, 11’in katı olmalıdır.
- 3 ve 11 hariç (5 ile bölünenler): ab+165, 5’in katı olmalıdır.
- 5 ve 11 hariç (3 ile bölünenler): ab+165, 3’ün katı olmalıdır.
Adım 3 — En Büyük ab Değerini Bulma
ab+165 ifadesini, 165’in çarpanları üzerinden değerlendirelim. 165 zaten 3 \times 5 \times 11 olduğu için, ab sayısı eğer bu çarpanların katı olursa ab+165 toplamı da otomatik olarak o çarpanlara bölünür.
En büyük iki basamaklı ab değerini aradığımız için, 99 civarından başlayalım.
- ab=99 için: 99+165 = 264.
264 sayısı 3’e bölünür (2+6+4=12), 11’e bölünür (264/11=24). Ancak 5’e bölünmez. Bu durum “biri hariç diğerleri ile bölünebilme” şartını sağlar (yani 5 hariç, 3 ve 11 ile bölünür).
Adım 4 — a \cdot b Hesaplama
En büyük ab değeri 99 olarak bulundu.
a=9 ve b=9 olduğu için:
a \cdot b = 9 \times 9 = 81
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: 81
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Asal Çarpanlar
- Tanım: Bir sayıyı kalansız bölen asal sayılar.
- Bu problemde: 165 = 3 \times 5 \times 11 olarak kullanıldı.
Sık Yapılan Hatalar:
ab sayısının tek basamaklı düşünülmesi
- Doğru: ab iki basamaklı bir sayı olduğu için 10 ile 99 arasında değer almalıdır.
- Neden yanlış: ab bir sayı değil, basamakları a ve b olan bir sayı olarak tanımlanmıştır.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir “asal çarpan” sorusu çözmemi ister misin?