AB Çaplı Yarım Çemberde Uzunluk Hesaplama

Üniversite
1

soruyu düzgün çöz

Soru Görseli
Soru Görseli1024×318 38.1 KB

2

AB Çaplı Yarım Çemberde Uzunluk Hesaplama

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir çemberde yarıçap uzunluğu sabittir. Bu soruda çemberin merkezini belirleyip yarıçapı (r) bulduktan sonra, çember üzerindeki herhangi bir nokta ile merkez arasındaki uzaklığın r olduğu gerçeğini ve Kosinüs Teoremi’ni kullanacağız.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Çemberin Yarıçapını Belirleme
AB çaplı bir yarım çemberde |AC| = 12 br ve |BC| = 8 br olarak verilmiş.

  • Çap uzunluğu: |AB| = |AC| + |BC| = 12 + 8 = 20 br.
  • Yarıçap uzunluğu (r): r = \frac{20}{2} = 10 br.

Adım 2 — Merkezin Konumunu Belirleme
Çemberin merkezine O noktası diyelim. O noktası çapın tam ortasındadır.

  • |AO| = |OB| = 10 br.
  • C noktası |AC| = 12 br uzaklıkta olduğu için, O noktası A ile C arasındadır.
  • |OC| = |AC| - |AO| = 12 - 10 = 2 br.

Adım 3 — Üçgen Oluşturma ve Geometrik İlişki
O merkezini D noktasıyla birleştirelim. |OD| bir yarıçaptır, dolayısıyla |OD| = 10 br.
Elimizde bir OCD üçgeni oluştu:

  • |OC| = 2 br
  • |OD| = 10 br
  • |CD| = x (Aranan uzunluk)
  • m(\widehat{BCD}) = 45^\circ olarak verilmiş. O, C, B noktaları doğrusal olduğu için m(\widehat{OCD}) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ olur.

Adım 4 — Kosinüs Teoremi ile x Değerini Bulma
OCD üçgeninde 135^\circ’lik açının karşısındaki kenarı (|OD|) kullanarak denklemi kuralım:

|OD|^2 = |OC|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |OC| \cdot |CD| \cdot \cos(135^\circ)
10^2 = 2^2 + x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
100 = 4 + x^2 + 2\sqrt{2}x
x^2 + 2\sqrt{2}x - 96 = 0

Adım 5 — İkinci Dereceden Denklemi Çözme
Diskriminant (\Delta) yöntemiyle:
\Delta = b^2 - 4ac = (2\sqrt{2})^2 - 4(1)(-96) = 8 + 384 = 392
x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2\sqrt{2} + \sqrt{392}}{2} = \frac{-2\sqrt{2} + 14\sqrt{2}}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: |CD| = x = 6\sqrt{2} br
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Yarıçap (r)

  • Tanım: Çemberin merkezi ile üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki sabit uzaklık.
  • Bu problemde: Çap 20 br olduğu için yarıçap 10 br olarak kullanıldı ve |OD| uzunluğu buna göre belirlendi.

2. Kosinüs Teoremi

  • Tanım: Bir üçgende bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu kenarlar ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının iki katının çıkarılmasına eşittir.
  • Bu problemde: x değerini bulmak için bilinmeyen kenar üzerine denklem kuruldu.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Merkezin Yanlış Belirlenmesi

  • Yanlış: C noktasını merkez sanmak.
  • Doğru: Suda C \in |AB| denmiş ancak merkez olduğu belirtilmemiş. Önce çapı bulup merkezi (O) kendimiz tayin etmeliyiz.
  • Neden Yanlış: Eğer C merkez olsaydı, |AC| ve |BC| eşit olmalıydı (12 \neq 8).

:cross_mark: Açı Karışıklığı

  • Yanlış: Formülde direkt 45^\circ kullanmak.
  • Doğru: Üçgen OCD olduğu için C noktasındaki iç açıyı (135^\circ) kullanmak gerekir.

Bu çözümle ilgili sormak istediğin başka bir detay var mı? Ya da benzer bir çember sorusu daha çözmemi ister misin?