13. f çift ve g tek ve bütün R’da tanımlı fonksiyonlar olsun. Aşağıdaki fonksiyonların tek ya da çift olup olmadığını araştırınız.
Soru:
f çift ve g tek fonksiyonlar olmak üzere, aşağıdaki fonksiyonların tek mi yoksa çift mi olduğunu inceleyelim:
a) f + g
b) f \cdot g
c) \frac{f}{g}
d) f^2 = f \cdot f
e) f \circ g (bileşke fonksiyon)
f) g \circ g (bileşke fonksiyon)
Cevap:
Öncelikle, tek ve çift fonksiyonların tanımlarını hatırlayalım:
| Fonksiyon Türü | Tanım |
|---|---|
| Çift fonksiyon | f(-x) = f(x), tüm x \in \mathbb{R} için |
| Tek fonksiyon | g(-x) = -g(x), tüm x \in \mathbb{R} için |
a) f + g fonksiyonunun tek/çiftliği
İnceleyelim:
(f+g)(-x) = f(-x) + g(-x)
f çift olduğundan f(-x) = f(x), g tek olduğundan g(-x) = -g(x), o halde:
(f+g)(-x) = f(x) - g(x) \neq (f+g)(x) \quad \text{ve} \quad (f+g)(-x) \neq -(f+g)(x)
Yani, f+g ne tek ne de çift fonksiyondur.
b) f \cdot g fonksiyonunun tek/çiftliği
İnceleyelim:
(f \cdot g)(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = - (f(x) \cdot g(x)) = -(f \cdot g)(x)
Burada,
(f \cdot g)(-x) = - (f \cdot g)(x)
Bu tanım tek fonksiyon tanımıdır.
Sonuç: f \cdot g fonksiyonu tektir.
c) \frac{f}{g} fonksiyonunun tek/çiftliği
İnceleyelim:
\left(\frac{f}{g}\right)(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{f(x)}{-g(x)} = - \frac{f(x)}{g(x)} = - \left(\frac{f}{g}\right)(x)
Yani,
\left(\frac{f}{g}\right)(-x) = - \left(\frac{f}{g}\right)(x)
Bu da tek fonksiyon tanımıdır.
Sonuç: \frac{f}{g} fonksiyonu tektir.
d) f^2 = f \cdot f fonksiyonunun tek/çiftliği
İnceleyelim:
(f^2)(-x) = f(-x) \cdot f(-x) = f(x) \cdot f(x) = (f^2)(x)
Burada,
(f^2)(-x) = (f^2)(x)
Bu tanım çift fonksiyon tanımıdır.
Sonuç: f^2 fonksiyonu çifttir.
e) f \circ g (bileşke fonksiyon) tek/çiftliği
Bileşke fonksiyon:
(f \circ g)(x) = f(g(x))
İnceleyelim:
(f \circ g)(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x))
f çift olduğundan,
f(-g(x)) = f(g(x))
Dolayısıyla,
(f \circ g)(-x) = f(g(x)) = (f \circ g)(x)
Bu tanım çift fonksiyon tanımıdır.
Sonuç: f \circ g fonksiyonu çifttir.
f) g \circ g (bileşke fonksiyon) tek/çiftliği
İnceleyelim:
(g \circ g)(-x) = g(g(-x)) = g(-g(x))
g tek olduğundan,
g(-g(x)) = -g(g(x))
Dolayısıyla,
(g \circ g)(-x) = -g(g(x)) = -(g \circ g)(x)
Bu tanım tek fonksiyon tanımıdır.
Sonuç: g \circ g fonksiyonu tektir.
Özet Tablosu
| Fonksiyon | Tek/Çift | Açıklama |
|---|---|---|
| f + g | Ne tek ne çift | f çift, g tek, toplam karışık |
| f \cdot g | Tek | Çift × Tek = Tek |
| \frac{f}{g} | Tek | Çift / Tek = Tek |
| f^2 = f \cdot f | Çift | Çift × Çift = Çift |
| f \circ g | Çift | f çift, g tek, bileşke çift |
| g \circ g | Tek | g tek, bileşke tek |
Sonuç:
- f+g fonksiyonu ne tek ne de çift.
- f \cdot g, \frac{f}{g} ve g \circ g fonksiyonları tektir.
- f^2 ve f \circ g fonksiyonları çifttir.
Eğer başka sorularınız varsa veya adımlarda açıklama isterseniz, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @elif_ozbek
Soru:
f çift ve g tek ve bütün ℝ’de tanımlı fonksiyonlar olsun. Aşağıdaki fonksiyonların tek mi, çift mi yoksa ne ikisi de değil mi olduğunu belirleyiniz:
a. f + g
b. f·g
c. f / g
d. f² = f·f
e. f ∘ g
f. g ∘ g
Çözüm ve Sonuçlar
Öncelikle hatırlayalım:
- f çift ⇒ f(–x) = f(x)
- g tek ⇒ g(–x) = –g(x)
Her bir fonksiyonu h(x) olarak alıp h(–x) ile h(x) karşılaştıracağız.
-
h(x) = f(x) + g(x)
h(–x) = f(–x) + g(–x) = f(x) – g(x)
f(x)+g(x) ≠ f(x)–g(x) ve f(x)+g(x) ≠ –(f(x)+g(x))
⇒ Ne çift ne de tek. -
h(x) = f(x)·g(x)
h(–x) = f(–x)·g(–x) = f(x)·[–g(x)] = –[f(x)·g(x)] = –h(x)
⇒ Tek fonksiyon. -
h(x) = f(x) / g(x)
h(–x) = f(–x) / g(–x) = f(x) / [–g(x)] = –[f(x)/g(x)] = –h(x)
⇒ Tek fonksiyon.
(Not: g(x)≠0 olduğu her x için tanımlıdır.) -
h(x) = f²(x) = [f(x)]²
h(–x) = [f(–x)]² = [f(x)]² = h(x)
⇒ Çift fonksiyon. -
h(x) = (f ∘ g)(x) = f(g(x))
h(–x) = f(g(–x)) = f(–g(x))
çünkü f çift ⇒ f(–u)=f(u), u=g(x) ⇒ f(–g(x))=f(g(x))=h(x)
⇒ Çift fonksiyon. -
h(x) = (g ∘ g)(x) = g(g(x))
h(–x) = g(g(–x)) = g(–g(x))
çünkü g tek ⇒ g(–u)=–g(u), u=g(x) ⇒ g(–g(x))=–g(g(x))=–h(x)
⇒ Tek fonksiyon.
Özet Tablo
| Fonksiyon | h(–x) = … | Sonuç |
|---|---|---|
| f + g | f(x) – g(x) | Ne çift ne tek |
| f·g | –f(x)·g(x) | Tek |
| f / g | –(f(x)/g(x)) | Tek |
| f² | [f(x)]² | Çift |
| f ∘ g | f(g(x)) | Çift |
| g ∘ g | –g(g(x)) | Tek |
Cevaplarınız bu şekilde olacaktır. @elif_ozbek