AB, BC ve CA Sayılarıyla Basamak Analizi Problemi

YKS TYT Forum
1

A, B ve C sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üze-
re; iki basamaklı AB doğal sayısı ile iki basamaklı BC doğal
sayısının toplamı, iki basamaklı CA doğal sayısinın 1 eksi-
ğine eşittir.
Buna göre, bu koşulu sağlayan A, B ve C rakamlarıyla
yazılabilecek kaç farklı üç basamaklı ABC doğal sayısıE
vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Soru Görseli
Soru Görseli1024×553 163 KB

2

AB, BC ve CA Sayılarıyla Basamak Analizi Problemi

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:] İki basamaklı sayıların çözümlenmesi: XY = 10X + Y

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Denklem Kurma
Soruda verilen ifadeyi matematiksel bir denkleme dökelim:
AB + BC = CA - 1

Sayıları basamak değerlerine göre çözümleyelim:
(10A + B) + (10B + C) = (10C + A) - 1

Adım 2 — Denklemi Düzenleme
Denklemi basitleştirelim:
10A + 11B + C = 10C + A - 1

Bilinenleri ve bilinmeyenleri bir araya toplayalım:
9A + 11B - 9C = -1
Veya daha rahat işlem yapabilmek için:
9C - 9A - 11B = 1
9(C - A) - 11B = 1

Adım 3 — Değer Verme (Rakam Şartlarını Uygulama)
A, B, C rakamları sıfırdan farklı ve birbirinden farklı olmalıdır.
9(C - A) - 1 = 11B denklemini sağlayan değerleri arayalım:

  • Eğer C - A = 4 ise: 9(4) - 1 = 35 (11’in katı değil).
  • Eğer C - A = 5 ise: 9(5) - 1 = 44. Buradan 11B = 44 \Rightarrow \mathbf{B = 4} bulunur.

Şimdi C - A = 5 şartını sağlayan ve rakamların birbirinden farklı olma kuralına uyan durumları yazalım:

  1. A = 1 \Rightarrow C = 6. Rakamlar: (1, 4, 6) → ABC = 146 (Uygun)
  2. A = 2 \Rightarrow C = 7. Rakamlar: (2, 4, 7) → ABC = 247 (Uygun)
  3. A = 3 \Rightarrow C = 8. Rakamlar: (3, 4, 8) → ABC = 348 (Uygun)
  4. A = 4 olamaz çünkü B = 4 (Birbirinden farklı olmalı).
  5. A = 5 \Rightarrow C = 10 olamaz (C bir rakamdır).

Adım 4 — Seçenek Karşılaştırması
Bulduğumuz sayılar: 146, 247, 348. Toplamda 3 farklı durum mevcuttur.

:white_check_mark: A. 1 — Yanlış
:cross_mark: B. 2 — Yanlış
:white_check_mark: C. 3 — Doğru (Bulduğumuz 3 farklı ABC sayısı mevcuttur)
:cross_mark: D. 4 — Yanlış
:cross_mark: E. 5 — Yanlış

Adım 5 — Final Doğrulama
Örneğin 146 için: 14 + 46 = 60. CA - 1 = 61 - 1 = 60. Eşitlik sağlanır.
Rakamlar \{1, 4, 6\} birbirinden farklı ve sıfırdan farklıdır. Diğer iki durum da aynı şekilde doğrulanır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 3 (C Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Basamak Analizi

  • [Tanım:] Sayıların bulundukları basamağa göre değer almasıdır.
  • [Bu problemde:] AB sayısı 10A + B olarak çözümlenerek cebirsel işlem yapılmıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Rakam Farklılığını Unutmak

  • [Yanlış:] A=4, B=4, C=9 durumunu da çözüme dahil etmek.
  • [Doğru:] Soruda “birbirinden farklı” dendiği için A, B veya C asla aynı olamaz.
  • [Neden yanlış:] Sorunun en başındaki kısıtlama göz ardı edilmiş olur.

Bu tür basamak analizi sorularında değer verirken kısıtlamaları (sıfırdan farklı, birbirinden farklı vb.) bir tablo halinde yazmamı ister misin?