AB \perp AC
DE \perp BC
|DA| = |AE|
|BE| = 4 cm
|EC| = 9 cm
olduğuna göre, |DC| kaç cm’dir?
A) 15
B) 17
C) 12
D) 9\sqrt{5}
E) 18
Dik Üçgende Öklid ve Pisagor Teoremi ile Uzunluk Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir (Öklid Yükseklik Bağıntısı: h^2 = p \cdot k). Dik kenarları bilinen dik üçgende hipotenüs uzunluğu ise Pisagor Teoremi ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Öklid Bağıntısı ile |AE| Uzunluğunu Bulma
ABC dik üçgeninde [AE] \perp [BC] olduğundan, hipotenüse indirilen dikme için Öklid bağıntısı uygulanır. Verilen |BE| = 4\text{ cm} ve |EC| = 9\text{ cm} değerleri formülde yerine yazılır:
|AE|^2 = |BE| \cdot |EC| = 4 \cdot 9 = 36 \implies |AE| = 6\text{ cm}
Adım 2 — |DE| Uzunluğunu ve |DC| Hipotenüsünü Hesaplama
Soruda |DA| = |AE| verildiğinden |DA| = 6\text{ cm} olur. Buradan [DE] doğru parçasının toplam uzunluğu:
|DE| = |DA| + |AE| = 6 + 6 = 12\text{ cm}
DEC üçgeninde [DE] \perp [EC] olduğundan bir dik üçgendir. Dik kenarları |DE| = 12\text{ cm} ve |EC| = 9\text{ cm} olan bu üçgende Pisagor bağıntısı (3-4-5 özel üçgeninin 3 katı: 9-12-15) uygulanır:
|DC|^2 = |DE|^2 + |EC|^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \implies |DC| = 15\text{ cm}
CEVAP: A) 15 (|DC| = 15\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Dikten inen dik görünce akla ilk olarak Öklid bağıntısı gelmelidir. Dik kenarları 9\text{ cm} ve 12\text{ cm} olan dik üçgende işlem yapmadan 3-4-5 temel oranının 3 katı (9-12-15) kuralı kullanılarak doğrudan sonuca ulaşılabilir.