AB \perp AC
AE \perp BC
AC \perp CE
|AB| = 20 cm
|AC| = 15 cm
|DE| = x
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm’dir?
A) \frac{15}{2}
B) \frac{25}{3}
C) \frac{32}{3}
D) \frac{27}{4}
E) \frac{36}{5}
Dik Üçgende Öklid Bağıntıları ve Uzunluk Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde Öklid bağıntıları geçerlidir. Hipotenüse inen dikme için h^2 = p \cdot k ve alan bağıntısından a \cdot h = b \cdot c kuralları uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — ABC Dik Üçgeninde Hipotenüs ve |AD| Uzunluğunu Bulma
AB \perp AC olduğundan ABC bir dik üçgendir. Verilen |AB| = 20\text{ cm} ve |AC| = 15\text{ cm} değerleri 3-4-5 özel üçgeninin 5 katıdır (15 - 20 - 25):
|BC| = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25\text{ cm}
AE \perp BC olduğundan [AD], ABC üçgeninin hipotenüse ait yüksekliğidir. Üçgenin alan bağıntısından:
|AB| \cdot |AC| = |BC| \cdot |AD| \implies 20 \cdot 15 = 25 \cdot |AD| \implies |AD| = 12\text{ cm}
Adım 2 — |CD| Uzunluğunu Hesaplama
ADC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı (9 - 12 - 15 üçgeni) veya Öklid bağıntısı uygulanırsa:
|AC|^2 = |CD| \cdot |BC| \implies 15^2 = |CD| \cdot 25 \implies 225 = 25 \cdot |CD| \implies |CD| = 9\text{ cm}
Adım 3 — ACE Dik Üçgeninde Öklid Bağıntısı ile x Değerini Bulma
Soruda AC \perp CE olarak verilmiştir, yani ACE üçgeni C köşesinde dik açılıdır. [CD] \perp [AE] olduğundan, CD doğru parçası ACE dik üçgeninin hipotenüse ait yüksekliğidir. Yükseklik bağıntısı (h^2 = p \cdot k) uygulandığında:
|CD|^2 = |AD| \cdot |DE|
9^2 = 12 \cdot x \implies 81 = 12x \implies x = \frac{81}{12} = \frac{27}{4}\text{ cm}
CEVAP: D) \frac{27}{4} (|DE| = \frac{27}{4}\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: AB \perp AC ve AC \perp CE olduğundan AB \parallel CE paralelliği doğar. Buradan oluşan kelebek benzerliğinden (\triangle DAB \sim \triangle DEC) de \frac{x}{12} = \frac{9}{16} \implies x = \frac{27}{4}\text{ cm} eşitliğine doğrudan ulaşılabilir.