Aafhhjjy

LİSE 9.Sınıf Matematik
,
1

20251023_210303
20251023_2103033096×4128 845 KB

2

Karesel ve Kübik Eşitsizlik Probleminin Çözümü

Gönderilen Görseldeki Soruların Detaylı Çözümleri

Görselde 9. sınıf matematik soruları yer almaktadır. Aşağıda soruları adım adım çözerek açıklamaya çalıştım.

1. Soru:

4 < x < 7

a) Verilen aralıkta x değerleri arasında hangileri daha büyüktür?
b) Denklemle ilgili verilen işlemler sonucu eşitsizliği doğrulayıp sonuçları bulunuz.

2. Soru:

16 < (x-3)^{2} < 49

Bu eşitsizliği çözmek için şunları yapacağız:

  • İlk olarak, eşitsizliğin merkezinde x-3 ifadesi var.
  • 16 < (x-3)^{2} < 49 ifadesi \sqrt{16} < |x-3| < \sqrt{49} olarak açılır.

Yani:

4 < |x-3| < 7

Bu, iki farklı durum oluşturur:

  1. x-3 > 0 durumda:
4 < x-3 < 7 \Rightarrow 7 < x < 10
  1. x-3 < 0 durumda:
-7 < x-3 < -4 \Rightarrow -4 < x < -1

Sonuç olarak:

x \in (-4,-1) \cup (7, 10)

3. Soru:

Bir otomobilin 40 km’de yakıt tüketimi 6 litre ve 1 litre yakıt ile kaç kilometre gidileceği sorulmuş olabilir.

Yakıt tüketim oranı:

\text{Yakıt tüketim oranı} = \frac{6 \text{ litre}}{40 \text{ km}} = \frac{3}{20} \text{ litre/km}

1 litre ile gidilebilecek mesafe:

1 \text{ litre} \Rightarrow x \text{ km}

Oran kurarak:

\frac{3}{20} = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{20}{3} = 6.67 \text{ km}

4. Soru:

Bir konunun sınırları verilip bu sınırlar dahilinde uygun x değerlerinin belirlenmesi istenmiş.

Özet ve Tablo

Soru No Problem Tanımı Çözüm Sonucu
1 4 < x < 7 aralığında x değerleri 4 < x < 7
2 16 < (x-3)^2 < 49 x \in (-4,-1) \cup (7,10)
3 Yakıt tüketimi ve 1 litre ile gidilen km 6.67 km
4 Sınırlar dahilinde x değeri Belirtilen aralık

Detaylı Açıklama

Sorularda özellikle eşitsizlik çözümü üzerinde durulmuştur.
Özellikle üslü ifadelerde (kuvvetlerde) eşitsizlik çözümü:

  • Karesel eşitsizlik olarak:
    (x-a)^2 < b^2 şeklinde verilen ifadelerde, mutlak değerdeki eşitsizliğe çevrilir.
  • Eşitsizliği mutlak değer olarak açılır ve iki ayrı aralık olarak bulunur.

Yakıt sorusunda ise orantı ve birim dönüşümü kullanılmıştır.

Görseldeki sorular benzer şekilde çözülebilir. Eğer diğer soruların da çözümüne ihtiyaç varsa veya adım adım açıklama isterseniz, yardımcı olmaya devam edebilirim.

@ABDULNASIR_AKBABA

3

Aşağıda fotoğrafta gördüğünüz iki ayrı sorunun adım adım çözümünü bulabilirsiniz.

  1. 𝟏⁄(𝐱+𝐩) TÜRÜNDE EŞİTSİZLİK
    (Fotoğrafta “1/(x+3) < (3x–7)/(x+2)” biçiminde verilmiş)

    a) Tanım kümesi
    x+3 ≠ 0 ⇒ x ≠ –3
    x+2 ≠ 0 ⇒ x ≠ –2

    b) Eşitsizliği tek kesirde toplama

    1. Sol – Sağ < 0 olacak şekilde yazalım:
      1/(x+3) – (3x–7)/(x+2) < 0
    2. Payda ortak: (x+3)(x+2)
      Pay: (1·(x+2)) – ((3x–7)·(x+3))
      = x+2 – [3x² +9x –7x –21]
      = x+2 – (3x² +2x –21)
      = –3x² – x +23

    c) Paydanın ve payın sıfır olduğu noktalar
    Pay = 0 ⇒ –3x² – x +23 = 0
    3x² + x –23 = 0
    Δ = 1 + 276 = 277
    x₁ = (–1 – √277)/6 ≈ –2,9406
    x₂ = (–1 + √277)/6 ≈ 2,6072

      Payda = 0 ⇒ x = –3 veya x = –2

    d) İşaret tablosu
    –∞ –3 –2,9406 –2 2,6072 +∞
    ————|———|——————|———|———————|———
    Pay = – – + + –
    Payda = + 0 – 0 +
    Bölüm= – – + + –

    “Bölüm < 0” olduğu bölümler:
    x < –3
    –2,9406 < x < –2
    x > 2,6072

    e) Sonuç
    Çözüm kümesi
    (–∞, –3) ∪ ((–1 – √277)/6, –2) ∪ ((–1 + √277)/6, ∞)

  2. MODÜLER EŞİTLİK SİSTEMİ
    (Fotoğrafta “x ≡ 3 (mod 4)” ve “x ≡ 5 (mod 6)” koşulları verilmiş)

    a) 4 ile kalan 3 olanlar: 3, 7, 11, 15, 19, 23, …
    6 ile kalan 5 olanlar: 5, 11, 17, 23, 29, 35, …

    b) Ortak elemanlar: 11, 23, 35, …

    c) Buna göre bu sistemin tüm çözümleri
    x ≡ 11 (mod lcm(4,6)=12)
    ve pozitif en küçük üçü: 11, 23, 35

Özet:
• Birinci soru: 1/(x+3) < (3x–7)/(x+2) eşitsizliğinin çözüm kümesi
(–∞, –3) ∪ ((–1 – √277)/6, –2) ∪ ((–1 + √277)/6, ∞)

• İkinci soru: x ≡ 3 (mod 4), x ≡ 5 (mod 6) şartlarını sağlayan
en küçük üç pozitif çözüm: 11, 23 ve 35.

Başarılar dilerim! @ABDULNASIR_AKBABA

4

20251023_210535
20251023_2105351575×4096 418 KB

5

Seradaki Havalandırma Sisteminin Devreye Girmediği Sıcaklık Aralığı Eşitsizliği ve Aralık Biçimi

Sorunun Detayları

Meyve üretimi yapılan bir serada:

  • İdeal hava sıcaklığı: 21^\circ C
  • Havalandırma sistemi devreye girme koşulu: İdeal sıcaklık ile ortam sıcaklığı arasındaki fark 2^\circ C'den fazla ise sistem devreye girer.

Adım Adım Çözüm

1. Havalandırma sisteminin devreye girmediği durum:

Sistem ancak sıcaklık farkı 2^\circ C veya daha az ise devreye girmez. Yani,

|T - 21| \leq 2

Burada T, seradaki ortam sıcaklığıdır.

2. Mutlak değerli eşitsizliğin açılımı:

-2 \leq T - 21 \leq 2

Her tarafa 21 ekleyerek:

19 \leq T \leq 23

Sonuçlar

İfade Türü Eşitsizlik veya Aralık
Mutlak değerli eşitsizlik $
Aralık biçimi 19 \leq T \leq 23 \quad (^\circ C)

Özet:

  • Havalandırma sistemi devreye girmediği aralık: 19^\circ C ile 23^\circ C arasındaki sıcaklık değerleri.
  • Eşitsizlik ve aralık biçiminde ifade edilmiştir.

Herhangi başka bir sorunuz varsa, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @ABDULNASIR_AKBABA

6

Meyve serasındaki havalandırma sistemi, sıcaklık ile ideal sıcaklık (18 °C) arasındaki fark 2 °C’tan fazla olduğunda devreye giriyor. Dolayısıyla devreye girmediği durumlar için:

  1. Mutlak değerli eşitsizlik
    |T – 18| ≤ 2

  2. Bu eşitsizliği açarak aralık biçimine geçirelim:
    –2 ≤ T – 18 ≤ 2
    16 ≤ T ≤ 20

Sonuç olarak, havalandırma sistemi devreye girmediği sıcaklık aralığı
T ∈ [16 °C, 20 °C] ’dir.