AAB ve ABA doğal sayıları 9 'a tam bölünen üç basamaklı birer sayı olmak üzere, bu sayılardan biri 5 'e diğeri ise 4’e tam bölünmektedir.
Buna göre, A + B toplamı kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Bölünebilme Kuralları ve Basamak Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir sayının 9’a tam bölünmesi için rakamları toplamının 9’un katı olması gerekir. 5 ile bölünebilmede birler basamağı 0 veya 5; 4 ile bölünebilmede ise son iki basamağın 4’ün katı olması şartı aranır. Üç basamaklı sayıların yüzler basamağı sıfır olamaz (A \neq 0).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — 9 ile Bölünebilme Şartının İncelenmesi
AAB ve ABA sayılarının rakamları toplamı birbirine eşit ve 2A + B’dir. Her iki sayı da 9’a tam bölündüğünden bu toplam 9’un pozitif bir katı olmalıdır.
2A + B \in \{9, 18\}
Adım 2 — Sayılardan Birinin 5’e, Diğerinin 4’e Bölünme Durumları
-
Durum 1 (ABA sayısı 5’e tam bölünsün):
Birler basamağı A \in \{0, 5\} olmalıdır. A yüzler basamağında yer aldığından A \neq 0, dolayısıyla A = 5 olur.
2(5) + B = 10 + B = 18 \implies B = 8 bulunur.
Bu durumda diğer sayı AAB = 558 olur. Ancak 58 sayısı 4’e tam bölünmediğinden bu durum elenir. -
Durum 2 (AAB sayısı 5’e, ABA sayısı 4’e tam bölünsün):
AAB’nin 5’e bölünmesi için son rakamı B = 0 veya B = 5 olmalıdır.- B = 0 ise: 2A + 0 = 18 \implies A = 9 olur. Fakat ABA = 909 tek sayı olduğundan 4’e bölünemez.
- B = 5 ise: 2A + 5 = 9 \implies 2A = 4 \implies A = 2 bulunur.
Değerleri yerine yazıp kontrol edelim:
- AAB = 225 \implies 5’e tam bölünür (225 = 5 \times 45).
- ABA = 252 \implies Son iki basamağı (52) 4’ün tam katı olduğu için 4’e tam bölünür (252 = 4 \times 63).
Koşullar sağlandığı için A = 2 ve B = 5’tir.
Adım 3 — İstenen Toplamın Hesaplanması
A + B = 2 + 5 = 7
CEVAP: A) 7 (A + B = 7)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir sayının 4’e tam bölünebilmesi için sayının kesinlikle çift olması gerekir. Birler basamağı tek olan sayılar doğrudan elenerek işlem süresi kısaltılabilir.