Cevap:
Soruyu Anlamak
Soru şöyle diyor:
- Basamakları üçü sıfırdan farklı x rakamı olan bir doğal sayı verilmiş.
- Bu doğal sayı (x + 1) basamaklıdır.
- Rakamların toplamı 60 olarak verilmiş.
- Bu doğal sayının basamaklarından oluşmuş A kümesi 2 elemanlıdır.
- A kümesinin elemanlarının toplamının kaç olduğunu bulmamız isteniyor.
Çözüm İçin Adımlar
Adım 1: Soruyu analiz edelim.
- x+1 basamaklı bir sayı ifadesi, doğal sayının toplam basamak sayısını gösterir. Örneğin, x = 5 olduğunda, bu doğal sayı 6 basamaklıdır.
- Rakamlar toplamı 60 olduğuna göre, bu sayı içindeki tüm basamak değerlerini topladığımızda toplam 60 elde ederiz.
- A kümesi, bu sayıdaki basamakların sıfırdan farklı olanlarının bir alt kümesini oluşturur. A kümesinin 2 elemanlı olduğu belirtilmiş.
Adım 2: Sayıya dair özellikleri inceleyelim.
- x+1 basamaklı bir doğal sayı demek, bu doğal sayının en az 10^{x}$ değerinin bir katı olduğu anlamına gelir.
- Toplam rakamlar 60 olduğuna göre, x+1 basamaklı bir sayıyı oluşturan basamakların toplamı bu değeri verecek şekilde dağıtılmıştır.
- A kümesinin elemanları, bu basamaklardan iki farklı değer içerir.
Adım 3: A kümesinin elemanlarını bulalım.
Doğal sayıdaki basamakların toplamı 60 olduğundan:
- Örneğin, x = 3 varsayımı ile 4 basamaklı bir sayı vardır.
- Bu kümedeki rakamlar bir dağılıma sahiptir:
- Örneğin, 9 ve 6 elemanları kümeyi oluşturabilir.
- \{9, 6\} gibi iki elemanlı bir küme ile toplam 60 sağlanabilir.
Adım 4: Elemanların toplamını hesaplayalım.
A kümesinin elemanları: \{9, 6\}
- Elemanların toplamı: 9 + 6 = 15
Özet ve Cevap
Sayıdaki basamaklardan oluşan A kümesinin elemanlarının toplamı 15’tir.
Doğru Cevap: D) 15
6. Basamaklarından üçü sıfırdan farklı x rakamı olan bir doğal sayı (x + 1) basamaklıdır. Rakamları toplamı 60 olan bu doğal sayının basamaklarının oluşturduğu A kümesi 2 elemanlıdır. Buna göre A kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
Cevap:
Table of Contents
1. Sorunun İncelenmesi
Soru bize:
• (x+1) basamaklı bir doğal sayı olduğunu,
• Toplam basamak sayısının içinden 3 tanesinin “sıfırdan farklı” aynı rakam (soruda x olarak ifade edilmesine karşın, aslında bu ‘x’ tek basamaklı olması gerekebilir diye düşünülür; ancak çözümde farklı bir yöntemle ilerlemek gerekiyor),
• Bu sayının rakamları toplamının 60 olduğunu,
• Sayının basamaklarından oluşan A kümesinin 2 elemanlı (yani tüm basamaklarda yalnızca 2 ayrı rakam kullanıldığını),
• Ve istenen şeyin de A kümesinin (yani o iki rakamın) toplamının ne olduğu,
bilgilerini veriyor.
Tüm basamakları yalnızca 2 farklı rakamdan (A kümesi) oluştuğu için, sayı “iki farklı rakamın belli tekrarlarından” meydana gelir. Üstelik 3 basamakı aynı “bir rakam” (sıfırdan farklı) ve kalanları da ikinci rakamdır diyerek problemin denklem kurulumuna geçilir.
2. Adım Adım Çözüm
-
Sayının toplam basamak sayısı = (x + 1).
-
Bu basamakların 3’ü aynı ve sıfırdan farklı bir rakam olsun (ona R₁ diyelim), kalan (x + 1 - 3) tanesi ise diğer rakam olsun (ona da R₂ diyelim).
-
Sayının rakamları toplamı 60 olduğu için:
$
3 \times R_{1} ;+; \bigl((x+1)-3\bigr) \times R_{2} ;=; 60
$ -
A kümesi 2 elemanlı olduğundan, sadece R₁ ve R₂’den oluşur (başka rakam yok).
-
R₁ ≠ R₂ ve her ikisi de 0–9 arası (ama R₁ ≠ 0) birer basamak olabilir.
Birçok deneme ile görülür ki 60 gibi büyük bir rakam toplamı, rakamların genellikle 6, 7, 8, 9 gibi yüksek değerlerde olmasını gerektirir. Ayrıca 3 tanesi R₁, kalan (x-2) tanesi R₂ olduğu için şöyle bir örnek denebilir:
- R₁ = 8 olsun, 3 tane 8’in toplamı 24’tür.
- Geriye 60 - 24 = 36 kalır. 36’yı başka bir rakamla doldurabilmek için R₂ = 6 seçilmesi mantıklıdır, çünkü 36 ÷ 6 = 6 basamak eder.
- Bu durumda basamak sayısı = 3 (tane 8) + 6 (tane 6) = 9’dur. O hâlde x + 1 = 9 ⇒ x = 8.
Gerçekten de:
• 3 tane 8 → 3×8 = 24
• 6 tane 6 → 6×6 = 36
• Toplam 24 + 36 = 60
• İki farklı rakam = {6, 8}
• Bu iki rakamın toplamı 6 + 8 = 14
Ve soru, “A kümesinin elemanları toplamı kaçtır?” diye sorduğundan yanıt 14 bulunur.
3. Çözümün Tablosu
| Adım | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Basamak sayısı belirleme | Sayı (x+1) basamaklıdır. 3 basamak R₁; geri kalan (x+1-3) basamak R₂. | Toplam basamak: 9 (x=8) |
| 2. Rakamlar toplamı 60 | 3×R₁ + (x+1-3)×R₂ = 60 | 3×8 + 6×6 = 60 |
| 3. A kümesi 2 elemanlı | Sadece R₁ ve R₂ kullanılır ve R₁ ≠ R₂ | A = {6, 8} |
| 4. Elemanların toplamını sorma | 6 + 8 = 14 | Cevap: 14 |
4. Sonuç ve Özet
Bu problemde, yalnızca 2 farklı rakamın kullanıldığı ve 3 tanesi aynı (sıfırdan farklı) olacak şekilde rakamları toplamı 60 eden bir sayı bulduk. Deneme ve basit denklemler yardımıyla en uygun rakamların 6 ve 8 olduğu anlaşıldı. Böylece A = {6, 8} kümesi 2 eleman içerir ve toplamları 6 + 8 = 14 yapar.
Dolayısıyla, sorudaki “A kümesinin elemanları toplamı kaçtır?” sorusunun doğru yanıtı:
14