A , x , y ve z pozitif tam sayılar olmak üzere
A = 3x + 2 = 6y + 2 = 10z + 2
olduğuna göre, A en az kaçtır?
A) 62
B) 32
C) 30
D) 60
E) 28
Pozitif Tam Sayılarda EKOK Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Eşitliğin her tarafından aynı sayı çıkarıldığında veya eklendiğinde elde edilen sayı, bölenlerin ortak katı olur:
A - k = \text{EKOK}(a, b, c) \cdot n \quad (n \in \mathbb{Z}^+)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Ortak kalanı eşitlikten çıkarma
Verilen eşitlikte her ifadenin +2 fazlalığı bulunmaktadır:
A = 3x + 2 = 6y + 2 = 10z + 2
Eşitliğin her tarafından 2 çıkararak A - 2 ifadesini elde edelim:
A - 2 = 3x = 6y = 10z
Bu durum, A - 2 sayısının 3, 6 ve 10 sayılarının pozitif bir ortak katı olduğunu gösterir.
Adım 2 — En küçük ortak katı (EKOK) bulma
x, y ve z pozitif tam sayılar olduğundan A’nın en küçük değerini bulmak için 3, 6 ve 10 sayılarının en küçük ortak katını hesaplarız:
3 = 3^1
6 = 2^1 \cdot 3^1
10 = 2^1 \cdot 5^1
\text{EKOK}(3, 6, 10) = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 30
Adım 3 — A değerini hesaplama
A’nın en az olması istendiği için kat katsayısı en küçük pozitif tam sayı olan 1 seçilir:
A - 2 = 30 \cdot 1
A = 30 + 2 = 32
(Kontrol: x = 10, y = 5, z = 3 olup tümü pozitif tam sayıdır.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 32
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- EKOK (En Küçük Ortak Kat): İki ya da daha fazla pozitif tam sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Bölme ve bölünebilme sorularında eşitlikleri ortak paranteze almak için kullanılır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Eşitlikteki +2’yi unutup doğrudan \text{EKOK}(3, 6, 10) = 30 bularak C şıkkını işaretlemek veya 2 çıkarmak (30 - 2 = 28).- Doğru Yaklaşım: A - 2 = 30 eşitliğinden A = 30 + 2 = 32 olduğunu dikkatle yazmak.
Benzer bir bölünebilme ve EKOK sorusu ile pratik yapmak ister misin?