A = \{x mid x = 3k + 1, k ın tam sayı \}
Yukarıda verilen A kümesinin toplama işlemine göre kapalılık özelliğinin olup olmadığını örnek sunarak gösteriniz.
Kümelerde Toplama İşlemine Göre Kapalılık Özelliği
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir A kümesinin toplama işlemine göre kapalı olması için, kümeden seçilen her x, y \in A elemanı için (x + y) \in A şartı sağlanmalıdır. Bu şartı sağlamayan tek bir karşıt örnek kümenin kapalı olmadığını ispatlar.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kümenin Eleman Yapısını Belirleme
Verilen A = \{x \mid x = 3k + 1, \, k \in \mathbb{Z}\} kümesi, 3 ile bölündüğünde 1 kalanını veren tam sayılardan oluşur. Kümeden iki farklı eleman seçelim:
k = 1 \implies x_1 = 3(1) + 1 = 4 \in A
k = 2 \implies x_2 = 3(2) + 1 = 7 \in A
Adım 2 — Elemanların Toplamını İnceleme ve Karşıt Örnek
Seçilen iki elemanın toplamı hesaplanır:
4 + 7 = 11
Adım 3 — Sonucun Kümeye Aitliğini Kontrol Etme
Elde edilen 11 sayısının 3k + 1 biçiminde yazılıp yazılamayacağına bakalım:
11 = 3 \cdot 3 + 2
11 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olduğundan 11 \notin A bulunur.
Genel cebirsel ifadeyle de iki elemanın toplamı:
(3k_1 + 1) + (3k_2 + 1) = 3(k_1 + k_2) + 2
şeklinde olup daima 3 ile bölündüğünde 2 kalanını verir ve asla A kümesine ait olamaz.
CEVAP: Toplama işlemine göre kapalı değildir. (4 \in A ve 7 \in A iken 4 + 7 = 11 \notin A)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir kümenin bir işleme göre kapalı olmadığını göstermek için aksini kanıtlayan tek bir sayısal örnek (karşıt örnek) sunmak tam puan almak için yeterlidir. Modüler aritmetik mantığıyla; (1 + 1 \equiv 2 \pmod 3) olduğu için toplam hiçbir zaman 1 kalanını veremez.