A ve K birer doğal sayı olmak üzere,
EBOB(5, K) =1
EBOB(7, K) =1
A) 2
Al = 5.7K
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, A’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A! = 5^6 \cdot 7^3 \cdot K Eşitliğini Sağlayan A Değerlerinin Bulunması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir n! faktöriyel sayısının içerisindeki bir p asal çarpanının kuvveti (Legendre Formülü) ile bulunur:
v_p(n!) = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \dots
\text{EBOB}(5, K) = 1 ve \text{EBOB}(7, K) = 1 koşulu, K sayısının 5 ve 7 asal çarpanlarını içermediğini gösterir. Dolayısıyla A! sayısındaki 5 asalının kuvveti tam olarak 6, 7 asalının kuvveti ise tam olarak 3 olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 5 Asal Çarpanının Kuvvetini İnceleme
A! sayısının içinde tam olarak 6 tane 5 asal çarpanı bulunmalıdır:
v_5(A!) = \left\lfloor \frac{A}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{A}{25} \right\rfloor = 6
- A = 25 için: \lfloor 25/5 \rfloor + \lfloor 25/25 \rfloor = 5 + 1 = 6
- A = 29 için: \lfloor 29/5 \rfloor + \lfloor 29/25 \rfloor = 5 + 1 = 6
- A = 30 için: \lfloor 30/5 \rfloor + \lfloor 30/25 \rfloor = 6 + 1 = 7 (Kuvvet 6’yı aşar)
Buradan 5 çarpanı koşulunu sağlayan A değer aralığı:
A \in \{25, 26, 27, 28, 29\}
Adım 2 — 7 Asal Çarpanının Kuvvetini İnceleme
A! sayısının içinde tam olarak 3 tane 7 asal çarpanı bulunmalıdır:
v_7(A!) = \left\lfloor \frac{A}{7} \right\rfloor = 3
- \lfloor A/7 \rfloor = 3 \implies 3 \le \frac{A}{7} < 4 \implies 21 \le A < 28
Buradan 7 çarpanı koşulunu sağlayan A değer aralığı:
A \in \{21, 22, 23, 24, 25, 26, 27\}
Adım 3 — Her İki Koşulu Sağlayan Ortak Değerleri Belirleme
A sayısının her iki koşulu da aynı anda sağlaması için bu iki kümenin kesişimi alınır:
\{25, 26, 27, 28, 29\} \cap \{21, 22, 23, 24, 25, 26, 27\} = \{25, 26, 27\}
A sayısı 25, 26 veya 27 olmak üzere 3 farklı değer alabilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (3)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Faktöriyelde Asal Çarpan Sayısı (Legendre Kuralı)
- Tanım: Bir faktöriyel ifadesinin içinde belirli bir asal sayının kaç defa bulunduğunu hesaplamak için sayı, o asal sayıya bölümleri toplanarak sürekli bölünür.
- Bu problemde: A! içindeki 5 ve 7 çarpanlarının sayısı sırasıyla 6 ve 3’e eşitlenerek A sınırları belirlenmiştir.
2. Aralarında Asallık (EBOB = 1)
- Tanım: İki sayının 1’den başka ortak pozitif böleninin olmaması durumudur.
- Bu problemde: \text{EBOB}(5, K) = 1 ve \text{EBOB}(7, K) = 1 bilgisi, A! içindeki tüm 5 ve 7 çarpanlarının 5^6 \cdot 7^3 kısmında toplandığını ve K’ya hiç kalmadığını doğrulamak için kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
28 Değerini Çözüme Dahil Etmek
- Yanlış: A = 28 alındığında 5 koşulu (v_5 = 6) sağlandığı için doğru kabul etmek.
- Doğru: 28! açıldığında 28 = 4 \times 7 olduğundan 7 asal çarpanı sayısı 4’e yükselir ve \text{EBOB}(7, K) = 1 şartı bozulur.
- Neden yanlış: Faktöriyeldeki her iki asal çarpan sınırı birlikte düşünülmelidir.
Faktöriyelde asal çarpan bulma veya benzeri bir TYT matematik sorusu ile pratik yapmaya devam etmek ister misin?