a ve bfarklı tam sayılar olmak üzere,
a-b =100
olduğuna göre, a +b toplamının alabileceği en büyük
değer en küçük değerden ne kadar fazladır?
A) 202
D) 69
B) 200
E) 52
C) 72
a · b = 100 Şartını Sağlayan a + b Toplamının Değer Analizi
KULLANILAN KURAL: Çarpımları sabit olan iki tam sayının toplamının en büyük olması için sayılar birbirine en uzak (birisi 1 seçilerek), en küçük olması için ise negatif tam sayılar kullanılarak birbirine en uzak seçilmesi gerekir. Ayrıca soruda sayıların farklı olduğu belirtilmiştir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilenleri Tanımlama
İki tam sayının çarpımı a \cdot b = 100 olarak verilmiştir. Bizden istenen ise a + b toplamının en büyük ve en küçük değerleri arasındaki farktır.
Adım 2 — En Büyük Toplamı Bulma
Toplamın en büyük olması için pozitif tam sayılar seçilmeli ve sayılar birbirinden olabildiğince uzak olmalıdır.
- a = 100 ve b = 1 seçilirse;
- 100 \cdot 1 = 100 (Şart sağlanır)
- a + b = 100 + 1 = 101
- Not: a ve b farklı olduğu için bu değer uygundur.
Adım 3 — En Küçük Toplamı Bulma
Toplamın en küçük (en negatif) olması için negatif tam sayılar seçilmeli ve sayılar mutlak değerce birbirinden en uzak olmalıdır.
- a = -100 ve b = -1 seçilirse;
- (-100) \cdot (-1) = 100 (Şart sağlanır)
- a + b = (-100) + (-1) = -101
- Not: Sayılar farklı olduğu için bu değer uygundur.
Adım 4 — Farkı Hesaplama
Soru, en büyük değerin en küçük değerden ne kadar fazla olduğunu sormaktadır.
- \text{Fark} = \text{En Büyük Değer} - \text{En Küçük Değer}
- \text{Fark} = 101 - (-101)
- \text{Fark} = 101 + 101 = 202
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 202 (A Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tam Sayılar (\mathbb{Z})
- Tanım: Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırdan oluşan kümedir.
- Bu problemde: “Tam sayı” denildiği için negatif çarpanları (-100 ve -1) mutlaka değerlendirmemiz gerekir.
2. Çarpım-Toplam İlişkisi
- Tanım: Çarpımları sabit olan sayılar arasındaki fark arttıkça toplam büyür.
- Bu problemde: Sayıları birbirine en yakın (10 ve 10) seçseydik toplam 20 olurdu, ancak en uzak (100 ve 1) seçtiğimiz için 101 sonucuna ulaştık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece Pozitif Sayıları Düşünmek
- Yanlış: Sadece 101 ve 20 değerlerini bulup farkı buna göre hesaplamak.
- Doğru: Soruda “doğal sayı” değil “tam sayı” denildiği için negatif değerler mutlaka hesaba katılmalıdır.
- Neden: Negatif tam sayıların toplamı, pozitiflerden çok daha küçük sonuçlar verir.
Bu çözümde sayıların farklı olması şartına da dikkat edilmiştir (10 ve 10 seçilemezdi). Başka bir soruda sayıların “doğal sayı” mı yoksa “tam sayı” mı olduğuna dikkat ederek benzer mantığı kullanabilirsin.
Bu tür çarpım-toplam sorularında sayı kümelerinin (Doğal sayı, Tam sayı vb.) önemi hakkında başka bir örnek çözmemi ister misin?