a ve b tam sayıları için, a < b’dir.
$ab$$1 “a ve b arasındaki tam sayıların toplamı” olarak tanımlanmıştır.
Örneğin, -52= (-4) + (-3) + \dots + (1) = -9’dur.
Buna göre,
-10n= 21
eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Tanımlı İşlemde Ardışık Tam Sayıların Toplamı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki tam sayı a ve b (a < b) arasındaki tam sayılar: a+1, a+2, \dots, b-1
- Toplam sembolü mantığı ve zıt işaretli sayıların birbirini sıfırlaması:(-k) + (-k+1) + \dots + 0 + \dots + (k-1) + k = 0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tanımlanan İşlemi Matematiksel Olarak İfade Etme
\begin{array}{|c|c|} \hline -10 & n \\ \hline \end{array} ifadesi, -10 ile n arasındaki (uç noktalar dahil olmayan) tam sayıların toplamıdır:
\text{Toplam} = (-9) + (-8) + \dots + 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) = 21
Adım 2 — Zıt İşaretli Sayıları Sadeleştirme
Toplamdaki -9’dan +9’a kadar olan tam sayılar toplandığında birbirini nötrler (toplamları 0 olur):
[(-9) + 9] + [(-8) + 8] + \dots + [(-1) + 1] + 0 = 0
Adım 3 — Kalan Terimleri Belirleme ve n Değerini Bulma
-9 ile +9 arasındaki sayıların toplamı 0 olduğuna göre, geriye kalan 10’dan başlayan sayıların toplamı 21 olmalıdır:
10 + 11 + \dots + (n-1) = 21
Görüldüğü üzere ilk iki terimin toplamı:
10 + 11 = 21
Buradan toplamın son teriminin 11 olduğu anlaşılır:
n - 1 = 11 \implies n = 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Aralıktaki Sayılar: “a ve b arasındaki sayılar” dendiğinde sınır değerler (a ve b) toplama dahil edilmez.
- Toplamsal Ters: Bir tam sayı ile ters işaretlisinin toplamı daima sıfırdır (x + (-x) = 0). Bu özellik ardışık simetrik dizilerde işlemleri son derece kısaltır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sınır değerleri de toplama dahil ederek -10’dan başlatıp 10 + 11 = 21 diyerek son terimi 11 alıp n=11 veya n=10 işaretlemek.- Doğru Yaklaşım: “Arasındaki” ifadesi nedeniyle -10 ve n sayılarını hariç tutmak ve son terimi n-1 = 11 olarak kurup n = 12 bulmak.
Benzer bir mantıkla pekiştirme yapmak için yeni bir soru çözmek ister misin?
@sorumatik_ai Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Tanımlı İşlem Mantığının Adım Adım Açıklaması
KULLANILAN KURAL:
- “İki sayı arasındaki tam sayılar” ifadesinde sınır sayıları toplama katılmaz.
- Zıt işaretli eşit tam sayıların toplamı sıfırdır:(-a) + a = 0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kutunun Anlamını ve Sınır Kuralını Kavrama
Soruda verilen kural: \begin{array}{|c|c|} \hline a & b \\ \hline \end{array} işlemi, a ile b’nin arasında kalan sayıları toplamak demektir. “Arasında” dendiği için a ve b sayıları toplama dahil edilmez.
Sorudaki örnekte \begin{array}{|c|c|} \hline -5 & 2 \\ \hline \end{array} verilmiş:
- -5 ile 2 arasındaki sayılar: -4, -3, -2, -1, 0, 1
- Toplam: (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -9
Adım 2 — \begin{array}{|c|c|} \hline -10 & n \\ \hline \end{array} İfadesini Yazma
Bu işlem, -10 ile n arasındaki sayıların toplamıdır.
-10’dan bir büyük olan -9 ile başlarız ve n’nin bir eksiği olan (n-1)'e kadar gideriz:
\text{Toplam} = (-9) + (-8) + \dots + (-1) + 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) = 21
Adım 3 — Birbirini Sıfırlayan (Götüren) Sayıları Bulma
Toplama işleminde aynı sayının negatifi ile pozitifi toplandığında sonuç 0 olur:
- (-9) + 9 = 0
- (-8) + 8 = 0
- (-7) + 7 = 0
- \dots
- (-1) + 1 = 0
- 0 zaten sonucu değiştirmez.
Yani, -9’dan +9’a kadar olan tüm sayıların toplamı tam olarak 0’dır.
Adım 4 — Kalan Sayılarla 21 Toplamına Ulaşma
-9’dan +9’a kadar olan kısım sıfırlandığına göre, sonucun 21 çıkması için +9’dan sonra gelen sayıları toplamaya devam etmeliyiz:
10 + 11 = 21
Görüldüğü gibi, sadece 10 ve 11 sayılarını eklediğimizde tam olarak istenen 21 toplamına ulaşıyoruz. Bu da demek oluyor ki dizideki en son sayı 11 olmalıdır.
Adım 5 — n Değerini Belirleme (En Kritik Nokta)
Dizideki sayılar n’nin kendisi değil, n’den bir önceki sayıdır (çünkü sınır dahil değildir).
Dizinin bittiği son sayı 11 olduğuna göre:
n - 1 = 11
n = 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ÖZET FORMÜL:
- Sınır hariç tutulduğu için son sayı her zaman n-1’dir.
- 10 + 11 = 21 olduğu için son sayı 11’dir.
- Buradan n = 11 + 1 = 12 bulunur.
Bu çözüm mantığını tam olarak pekiştirmek için benzer bir örnek soru çözmek ister misin?