A ve b tam sayı olmak üzere, eşitliği veriliyor

YKS TYT
1

a ve b tam sayı olmak üzere,
(12- a)! -(5 + b) = 1
eşitliği veriliyor.
Buna göre, a + b toplamının aldiğı en büyük değer kaç-
tır?
A) 11
B) 10
c)9
D) 8
E) 7

a ve b tam sayı olmak üzere, (12- a)!
a ve b tam sayı olmak üzere, (12- a)!1024×768 66.9 KB

2

(12 - a)! \cdot (5 + b) = 1 Eşitliğinde a + b Toplamının En Büyük Değerinin Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  • Faktöriyel Tanımı: n \in \mathbb{N} olmak üzere n! \ge 1 olup faktöriyelin içi negatif olamaz (n \ge 0).
  • Faktöriyel Değeri 1 Olan Sayılar: 0! = 1 ve 1! = 1
  • Tam Sayılarda Çarpma: İki tam sayının çarpımı 1 ise ve çarpanlardan biri pozitif tam sayı olmak zorunda ise her iki çarpan da 1 olmalıdır (1 \cdot 1 = 1).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Çarpanların İncelenmesi
(12 - a)! \cdot (5 + b) = 1 eşitliğinde a ve b birer tam sayıdır.
Faktöriyel ifadesi (12 - a)! daima pozitif bir tam sayıdır. Çarpımın 1 olması için (12 - a)! = 1 ve (5 + b) = 1 olmalıdır.

Adım 2 — b Değerinin Hesaplanması
5 + b = 1
b = 1 - 5
b = -4

Adım 3 — a Değerlerinin Hesaplanması
(12 - a)! = 1 eşitliğini sağlayan iki farklı durum vardır:

  • 1. Durum: 12 - a = 0 \implies a = 12
  • 2. Durum: 12 - a = 1 \implies a = 11

Adım 4 — a + b Toplamının Değerlendirilmesi

  • 1. Durum için: a + b = 12 + (-4) = 8
  • 2. Durum için: a + b = 11 + (-4) = 7

Elde edilen değerler arasından en büyük olan 8’dir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Faktöriyel (n!)

  • Tanım: 1’den n’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımıdır. Özel olarak 0! = 1 kabul edilir.
  • Bu problemde: (12 - a)! = 1 ifadesinden 12 - a ifadesinin hem 0 hem de 1 olabileceği kullanılmıştır.

2. Tam Sayı Çarpanları

  • Tanım: Çarpımları sabit bir tam sayı veren bileşenlerin incelenmesidir.
  • Bu problemde: Pozitif bir faktöriyel değeri ile bir tam sayının çarpımı 1 olduğundan her iki çarpanın da 1 olması gerektiği belirlenmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: 0! = 1 Durumunu Unutmak

  • Yanlış: Yalnızca 12 - a = 1 \implies a = 11 alıp a + b = 11 - 4 = 7 bulmak.
  • Doğru: Faktöriyel sonucu 1 olan iki değer (0! ve 1!) olduğunu hatırlayarak 12 - a = 0 \implies a = 12 durumunu da hesaba katmak.
  • Neden yanlış: 0! = 1 eşitliği göz ardı edildiğinde a’nın alabileceği en büyük değer (12) kaçırılır ve soru hatalı çözülür.

Faktöriyel içeren benzer bir tam sayı denklemi sorusu daha çözmemi ister misin?