**2. y = –x² + 5x + 14 ikinci dereceden denklemi için;
a. Tepe noktası ve x & y kesişim noktalarını bulunuz.
b. Grafiğini çiziniz.
3. f(x) = –(x–2)² + 1 için;
a. Tepe noktası ve x & y kesişim noktalarını bulunuz.
b. Grafiğini çiziniz.**
İçindekiler
- 2. Denklemin Analizi
1.1 a) Tepe Noktası ve Kesişim Noktaları
1.2 b) Grafik Çizimi - 3. f(x) = –(x–2)² + 1 Denkleminin Analizi
2.1 a) Tepe Noktası ve Kesişim Noktaları
2.2 b) Grafik Çizimi - Özet Tablosu
- Sonuç
1. 2. Denklemin Analizi
Denklemimiz:
y = -x^2 + 5x + 14
1.1 a) Tepe Noktası ve Kesişim Noktaları
-
Tepe Noktasının x-koordinatı
İkinci dereceden bir fonksiyonda tepe noktası xₙ:
x_v = -\frac{b}{2a} , burada a = -1, b = 5.
x_v = -\frac{5}{2\cdot(-1)} = \frac{5}{2} = 2{,}5 -
Tepe Noktasının y-koordinatı
y_v = f(x_v) = - (2{,}5)^2 + 5\cdot2{,}5 + 14 = -6{,}25 + 12{,}5 + 14 = 20{,}25
Tepe noktası: (2,5 ; 20,25) -
x-kesişim noktaları (y=0 için çözüm)
-x^2 + 5x + 14 = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 -5x -14 =0
Çözüm formülü:
x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{5 \pm 9}{2}
Böylece x_1 = 7, x_2 = -2.
x-kesişimleri: (-2 ; 0) ve (7 ; 0) -
y-kesişim noktası (x=0 için)
y = -0^2 + 5\cdot0 +14 = 14
y-kesişimi: (0 ; 14)
1.2 b) Grafik Çizimi
• Parabola Özelliği: a = -1 < 0 olduğundan aşağı doğru açılan bir parabola.
• Başlıca Noktalar:
- Tepe: (2,5 ; 20,25)
- x-kesişimleri: (-2 ; 0), (7 ; 0)
- y-kesişimi: (0 ; 14)
Grafik çizim adımları:
- Koordinat sistemini çiziniz.
- Tepe noktasını işaretleyip y = 20{,}25 yatay çizgisi üzerine nokta yerleştiriniz.
- x-eksenindeki (-2,0) ve (7,0) noktalarını işaretleyiniz.
- y-eksenindeki (0,14) noktasını işaretleyiniz.
- İşaretlenen noktaları düzgün bir eğri ile birleştirerek aşağı açılan parabola şeklini oluşturunuz.
2. 3. f(x) = –(x–2)² + 1 Denkleminin Analizi
2.1 a) Tepe Noktası ve Kesişim Noktaları
-
Tepe Noktası
Fonksiyon standart formda verilmiş:
f(x) = - (x - 2)^2 + 1
Buradan doğrudan tepe noktası: (2 ; 1). -
x-kesişimleri (f(x)=0 için)
$- (x - 2)^2 + 1 = 0
;\Longrightarrow;
(x - 2)^2 = 1
x - 2 = \pm 1
;\Longrightarrow; x = 2 \pm 1
$
Yani x₁ = 1, x₂ = 3.
x-kesişimleri: (1 ; 0) ve (3 ; 0)
- (x - 2)^2 + 1 = 0
-
y-kesişimi (x = 0 için)
y = -(0 - 2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3
y-kesişimi: (0 ; -3)
2.2 b) Grafik Çizimi
• Parabola Özelliği: a = -1 ile yine aşağı açılan bir parabola.
• Başlıca Noktalar:
- Tepe: (2 ; 1)
- x-kesişimleri: (1 ; 0), (3 ; 0)
- y-kesişimi: (0 ; -3)
Grafiği çizmek için:
- Koordinat sistemi çiziniz.
- Tepe noktası (2,1) işaretleyiniz.
- x-eksenindeki (1,0) ve (3,0) noktalarını yerleştiriniz.
- y-eksenindeki (0,–3) noktasını işaretleyiniz.
- Bu noktalar üzerinden aşağı açılan simetrik bir eğri çiziniz.
3. Özet Tablosu
| Fonksiyon | Tepe Noktası | x-Kesişimleri | y-Kesişimi |
|---|---|---|---|
| y = -x^2 +5x +14 | (2,5 ; 20,25) | (-2 ; 0), (7 ; 0) | (0 ; 14) |
| f(x) = -(x-2)^2 +1 | (2 ; 1) | (1 ; 0), (3 ; 0) | (0 ; –3) |
4. Sonuç
- 2. denklem için tepe noktası (2,5 ; 20,25); x-kesişimleri (-2 ; 0) ve (7 ; 0); y-kesişimi (0 ; 14) oldu. Grafiği aşağı açılan parabola şeklinde çizilmelidir.
- 3. denklem doğrudan tepe formunda, tepe noktası (2 ; 1); x-kesişimleri (1 ; 0) ve (3 ; 0); y-kesişimi (0 ; –3). Yine aşağı açılan bir parabola elde edilir.
Her iki grafikte de simetri ekseni tepe noktasının x-koordinatına eşittir (sırasıyla x=2{,}5, x=2). Noktaları işaretleyip düzgün eğri geçişleri sağlamak çizimde başarıyı artırır. @elif_ozbek
A ve b şıklarını çöz ikisinde de ve grafikleri mutala çiz
Soru 2:
Fonksiyon: y = -x^2 + 5x + 14 (ikinci dereceden denklem)
2a. Tepe noktası ve x & y kesişim noktalarını bulunuz
1. Tepe Noktası (Vertex) Bulma
İkinci dereceden fonksiyon genel formu:
y = ax^2 + bx + c
Burada:
a = -1, b = 5, c = 14
Tepe noktasının x koordinatı:
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \times (-1)} = \frac{5}{2} = 2.5
Tepe noktasının y koordinatını bulmak için x=2.5 değerini fonksiyona koyarız:
y = - (2.5)^2 + 5 \times 2.5 + 14 = -6.25 + 12.5 + 14 = 20.25
Tepe noktası: (2.5, 20.25)
2. x Kesişim Noktaları (x-eksenini kestiği noktalar)
x kesişim noktaları için y=0 yapılır:
0 = -x^2 + 5x + 14
Denklemi standart forma getiririz:
-x^2 + 5x + 14 = 0 \implies x^2 - 5x - 14 = 0
Şimdi, ikinci dereceden denklemin köklerini bulalım:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Burada: a=1, b=-5, c=-14
\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times (-14) = 25 + 56 = 81
x = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{5 \pm 9}{2}
İki kök:
x_1 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7
x_2 = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2
x kesişim noktaları: (7, 0) ve (-2, 0)
3. y Kesişim Noktası (y-eksenini kestiği nokta)
x=0 için y değeri:
y = -0 + 0 + 14 = 14
y kesişim noktası: (0, 14)
2b. Grafiğini çiziniz
- Parabolün tepe noktası (2.5, 20.25)
- x-eksenini kestiği noktalar (-2, 0) ve (7, 0)
- y-eksenini kestiği nokta (0, 14)
- Parabol a = -1 olduğu için aşağı doğru açılır
Soru 3:
Fonksiyon: f(x) = -(x-2)^2 + 1
3a. Tepe noktası ve x & y kesişim noktalarını bulunuz
1. Tepe Noktası
Fonksiyonun standart tepe noktası formu:
f(x) = a(x - h)^2 + k
Burada:
a = -1, h = 2, k = 1
Tepe noktası doğrudan:
(h, k) = (2, 1)
2. x Kesişim Noktaları
x kesişim noktaları için f(x) = 0 yapılır:
0 = -(x-2)^2 + 1
(x-2)^2 = 1
x - 2 = \pm 1
İki çözüm:
x_1 = 2 + 1 = 3
x_2 = 2 - 1 = 1
x kesişim noktaları: (3, 0) ve (1, 0)
3. y Kesişim Noktası
x=0 için:
f(0) = - (0 - 2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3
y kesişim noktası: (0, -3)
3b. Grafiğini çiziniz
- Tepe noktası: (2, 1)
- x-eksenini kestiği noktalar: (1, 0) ve (3, 0)
- y-eksenini kestiği nokta: (0, -3)
- Parabol a = -1 olduğu için aşağı doğru açılır
Özet Tablosu
| Soru | Fonksiyon | Tepe Noktası | x Kesişim Noktaları | y Kesişim Noktası | Parabol Yönü |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | y = -x^2 + 5x + 14 | (2.5, 20.25) | (-2, 0) ve (7, 0) | (0, 14) | Aşağı doğru |
| 3 | f(x) = -(x-2)^2 + 1 | (2, 1) | (1, 0) ve (3, 0) | (0, -3) | Aşağı doğru |
Grafik Çizim Notları
- Her iki fonksiyon da aşağı doğru açılan parabol.
- Tepe noktaları grafiğin en yüksek noktasıdır.
- x-eksenini kestiği noktalar parabolün sıfırlarıdır.
- y-eksenini kestiği nokta fonksiyonun x=0 değerindeki çıktısıdır.
- Grafik çiziminde bu noktalar işaretlenip, parabol şekli çizilir.
Eğer isterseniz, grafiklerin nasıl çizileceği veya grafik çizim araçları hakkında da yardımcı olabilirim.