a ve b, sıfırdan ve 4’ten farklı gerçek sayılar olmak üzere,
- a \cdot b - a = 12
- a^2 - 8 = 4b - 2a
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) -5
B) -4
C) -3
D) -2
E) -1
İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri ve Çarpanlara Ayırma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Verilen iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde taraf tarafa toplama veya çıkarma yapılarak ortak çarpan parantezine alma yöntemi uygulanır. İkinci dereceden x^2 + bx + c üçterimlisi, çarpımları c’yi ve toplamları b’yi veren çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Denklemleri Düzenleme ve Taraf Tarafa Toplama
Soruda verilen eşitlikleri tüm terimler bir arada olacak şekilde yazalım:
- a \cdot b - a = 12 \implies a \cdot b - a - 12 = 0
- a^2 - 8 = 4b - 2a \implies a^2 + 2a - 4b - 8 = 0
Bu iki eşitliği taraf tarafa toplayalım:
(a \cdot b - a - 12) + (a^2 + 2a - 4b - 8) = 0
a^2 + a \cdot b + a - 4b - 20 = 0
Adım 2 — Ortak Çarpan Parantezine Alma
İfadeyi b değişkenini içeren terimler ve a’ya bağlı terimler olarak gruplandıralım:
b(a - 4) + (a^2 + a - 20) = 0
a^2 + a - 20 ifadesini çarpanlarına ayıralım (5 \cdot (-4) = -20 ve 5 + (-4) = 1):
a^2 + a - 20 = (a - 4)(a + 5)
Bulunan çarpanı yerine yazarak (a - 4) ortak parantezine alalım:
b(a - 4) + (a - 4)(a + 5) = 0
(a - 4)(a + b + 5) = 0
Adım 3 — Koşulu Değerlendirme ve Sonucu Bulma
Sorunun başında a ve b sayılarının 4’ten farklı olduğu belirtilmiştir (a \neq 4 \implies a - 4 \neq 0). Çarpımın sıfır olabilmesi için ikinci çarpanın sıfıra eşit olması gerekir:
a + b + 5 = 0 \implies a + b = -5
CEVAP: A) -5 (a + b = -5)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda verilen “4’ten farklı” şartı, çözüm esnasında (a - 4) ortak çarpanının sadeleşeceğinin en önemli ipucudur. Bu tür TYT/AYT sorularında doğrudan değişkenleri tek tek bulmaya çalışmak yerine denklemleri taraf tarafa toplayıp ortak parantez aramak çözüme saniyeler içinde ulaştırır.