a ve b , sıfırdan ve 4’ten farklı gerçek sayılar olmak üzere,
• a \cdot b - a = 12
• a^2 - 8 = 4b - 2a
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) -5
B) -4
C) -3
D) -2
E) -1
İki Değişkenli İkinci Dereceden Denklem Sistemleri ve Çarpanlara Ayırma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Verilen iki denklem uygun şekilde düzenlenip taraf tarafa toplandığında, terimler gruplandırılarak ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle (a - 4) ortak çarpanı elde edilir ve sadeleştirme yapılarak a + b değerine ulaşılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Eşitlikleri Düzenleme
Soruda verilen eşitliklerdeki terimleri gruplandırmaya uygun hâle getirelim:
- Birinci eşitlikten:a \cdot b = a + 12
- İkinci eşitlikten (4b ve -2a terimlerini sol tarafa, a^2 terimini sağ tarafa alırsak):2a - 4b - 8 = -a^2
Adım 2 — Eşitlikleri Taraf Tarafa Toplama
Elde ettiğimiz iki eşitliği taraf tarafa toplayalım:
a \cdot b + 2a - 4b - 8 = -a^2 + a + 12
Adım 3 — Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma
- Sol tarafı ortak çarpan parantezine alalım:a(b + 2) - 4(b + 2) = (a - 4)(b + 2)
- Sağ tarafı eksi parantezine alıp çarpanlarına ayıralım:-(a^2 - a - 12) = -(a - 4)(a + 3)
Eşitliği yeniden yazarsak:
(a - 4)(b + 2) = -(a - 4)(a + 3)
Adım 4 — Sadeleştirme ve a + b Değerini Bulma
Soruda a \neq 4 olarak verildiğinden, her iki tarafı (a - 4) ifadesine bölebiliriz:
b + 2 = -(a + 3)
b + 2 = -a - 3
a + b = -3 - 2
a + b = -5
CEVAP: A) -5 (a + b = -5)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Sorunun başında a ve b’nin 4’ten farklı verilmesinin sebebi, a = 4 ve b = 4 durumunun denklemleri sağlayan aşikâr bir kök olmasıdır. Bu koşul, (a - 4) ifadesini gönül rahatlığıyla sıfıra bölme hatasına düşmeden sadeleştirebilmemizi sağlar.