a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere
f(x) = ax^2 - (a + b) \cdot x - 2a + b
fonksiyonu veriliyor.
f(x) = 0 denkleminin kökleri a ve b’dir.
Buna göre kökleri a \cdot b ve \frac{a}{b} olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x^2 + 4x - 3 = 0
B) x^2 + 4x - 1 = 0
C) x^2 - 4x + 1 = 0
D) x^2 + 4x + 3 = 0
E) x^2 - 4x + 3 = 0
İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı Bağıntıları (Vieta Kuralları)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Ax^2 + Bx + C = 0 denkleminde kökler toplamı x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} ve kökler çarpımı x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} bağıntılarıyla bulunur. Kökleri bilinen ikinci dereceden denklem ise x^2 - Tx + Ç = 0 formülüyle kurulur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kökler Toplamından Değişken İlişkisini Bulma
f(x) = ax^2 - (a+b)x - 2a + b = 0 denkleminin katsayıları A = a, B = -(a+b) ve C = -2a+b’dir. Kökler a ve b olduğuna göre kökler toplamı bağıntısını yazalım:
a + b = -\frac{-(a+b)}{a} \implies a+b = \frac{a+b}{a}
a \neq 1 olduğundan (eğer a = 1 olsaydı kökler çarpımından b = -2+b \implies 0 = -2 çelişkisi doğardı), eşitliğin sağlanması için a + b = 0, yani b = -a olmalıdır.
Adım 2 — Kökler Çarpımından Değerleri Hesaplama
Kökler çarpımı bağıntısında b = -a eşitliğini yerine koyalım:
a \cdot b = \frac{-2a+b}{a} \implies a \cdot (-a) = \frac{-2a - a}{a}
-a^2 = \frac{-3a}{a} \implies -a^2 = -3 \implies a^2 = 3
Adım 3 — İstenen Kökleri ve Yeni Denklemi Kurma
Bizden kökleri k_1 = a \cdot b ve k_2 = \frac{a}{b} olan denklem istenmektedir:
- k_1 = a \cdot (-a) = -a^2 = -3
- k_2 = \frac{a}{-a} = -1
Yeni denklemin kökler toplamı (T) ve kökler çarpımı (Ç):
T = (-3) + (-1) = -4
Ç = (-3) \cdot (-1) = 3
Buradan denklem:
x^2 - Tx + Ç = 0 \implies x^2 - (-4)x + 3 = 0 \implies x^2 + 4x + 3 = 0
CEVAP: D) x^2 + 4x + 3 = 0
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: (a+b) = \frac{a+b}{a} eşitliğinde hemen her iki tarafı (a+b)'ye bölüp sadece a=1 köküne odaklanmak yaygın bir hatadır. a=1 durumunun kökler çarpımında tanımsızlık/çelişki doğurduğu fark edilmeli ve a+b=0 durumu mutlaka incelenmelidir.