A ve B şehirleri arasında karşılıklı olarak doğrusal bir hatta tren seferleri yapılmaktadır. Her iki şehirden aynı anda sabit hızlarla birer tren harekete geçmiştir.
B şehrinden yola çıkan trenin hızı, diğer trenin hızından saatte 15 kilometre daha fazladır.
Bu iki tren arasındaki uzaklık ikinci kez 150 kilometre olduğu anda B şehrinden hareket eden trendeki bir yolcu yanında oturan arkadaşına,
Tren yola çıktığından beri tam 6 saat geçmiş.
demiştir.
Bu konuşma yapıldığı anda hızlı olan trenin A şehrine varmasına 40 dakikalık yolu kaldığına göre, A ve B şehirleri arasındaki uzaklık kaç kilometredir?
A) 240
B) 300
C) 360
D) 480
E) 540
Karşılıklı Hareket ve Hız Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Birbirine doğru hareket eden araçlar karşılaştıktan sonra aralarındaki mesafenin tekrar açılması durumunda, aldıkları toplam yol iki şehir arası mesafe ile aralarındaki yeni mesafenin toplamına eşittir: (v_1 + v_2) \cdot t = x + d.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Trenlerin Hızlarını ve Toplam Süreyi Belirleme
A şehrinden kalkan trenin hızına v dersek, B şehrinden kalkan hızlı trenin hızı v + 15 km/sa olur. B’den kalkan tren 6 saat hareket ettikten sonra 40 dakika (\frac{40}{60} = \frac{2}{3} saat) daha gittiğinde A şehrine varacağına göre, yolun tamamını alma süresi:
t_B = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3} \text{ saat}
Buradan A ve B şehirleri arasındaki toplam uzaklık (x):
x = v_B \cdot t_B = (v + 15) \cdot \frac{20}{3}
Adım 2 — İkinci Kez Karşılaşma Sonrası Uzaklık Bağıntısını Kurma
Trenler arasındaki mesafenin ilk kez 150 km olması karşılaşmadan önce, ikinci kez 150 km olması ise birbirlerini geçip uzaklaştıkları anda gerçekleşir. 6 saatte aldıkları toplam yol, şehirler arası mesafeden 150 km fazladır:
(v_A + v_B) \cdot 6 = x + 150
(v + v + 15) \cdot 6 = x + 150 \implies 12v + 90 = x + 150 \implies x = 12v - 60
Adım 3 — Hız ve Toplam Mesafeyi Hesaplama
Her iki x ifadesini birbirine eşitleyerek v hızını bulalım:
(v + 15) \cdot \frac{20}{3} = 12v - 60
20(v + 15) = 3(12v - 60) \implies 20v + 300 = 36v - 180
16v = 480 \implies v = 30 \text{ km/sa}
Buradan hızlı olan trenin hızı v_B = 30 + 15 = 45 km/sa bulunur. A ve B şehirleri arasındaki uzaklık:
x = 45 \cdot \frac{20}{3} = 300 \text{ km}
CEVAP: B) 300 (|AB| = 300\text{ km})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Karşılıklı hareket sorularında “aralarındaki mesafenin ikinci kez d olması” ifadesi, araçların kesinlikle karşılaşıp birbirlerini geçtiklerini gösterir. Bu durumda toplam yol formülü x - d değil, mutlaka x + d olarak alınmalıdır.