A ve b sayılarının ortalamaları ve kareleri toplamı sorusu

YKS TYT
1

a ve b sayılarınin geometrik ortalaması 3, arit-
metik ortalaması ise 6 dır.
Buna göre, a? ve b^{2} sayilarının aritmetik ortala-
ması kaçtır?
A) 67 B) 65 C) 63
D) 61
E) 57
(2011 - LYS)

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 59.7 KB

2

a ve b sayılarının ortalamaları ve kareleri toplamı sorusu

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

  1. Aritmetik Ortalama: \frac{a+b}{2}
  2. Geometrik Ortalama: \sqrt{a \cdot b}
  3. Tam Kare Özdeşliği: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Bilgileri Denkleme Dökme
Soruda a ve b sayılarının geometrik ortalaması 3 olarak verilmiş:
\sqrt{a \cdot b} = 3 \implies a \cdot b = 3^2 = 9

Aritmetik ortalaması ise 6 olarak verilmiş:
\frac{a+b}{2} = 6 \implies a+b = 12

Adım 2 — Kareler Toplamını (a^2 + b^2) Bulma
a^2 ve b^2 sayılarının aritmetik ortalamasını bulmak için önce bu sayıların toplamına ihtiyacımız var. Bunun için (a+b) = 12 denkleminin her iki tarafının karesini alalım:
(a+b)^2 = 12^2
a^2 + 2ab + b^2 = 144

Daha önce a \cdot b = 9 olduğunu bulmuştuk. Bunu denklemde yerine yazalım:
a^2 + 2 \cdot (9) + b^2 = 144
a^2 + 18 + b^2 = 144
a^2 + b^2 = 144 - 18 = 126

Adım 3 — a^2 ve b^2 Sayılarının Aritmetik Ortalamasını Hesaplama
İki sayının aritmetik ortalaması, sayıların toplamının ikiye bölünmesiyle bulunur:
Aritmetik Ortalama = \frac{a^2 + b^2}{2}
\frac{126}{2} = 63

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 63
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Aritmetik Ortalama

  • Tanım: Verilerin toplamının veri sayısına bölünmesidir.
  • Bu problemde: a^2 ve b^2 için hedef değerimiz \frac{a^2+b^2}{2} olmuştur.

2. Geometrik Ortalama

  • Tanım: n tane sayının çarpımının n. dereceden köküdür.
  • Bu problemde: İki sayı olduğu için karekök (\sqrt{a \cdot b}) kullanılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Ortalamaların Karesini Almak

  • Yanlış: Aritmetik ortalamanın karesini alıp (6^2 = 36) cevabı orada aramak.
  • Doğru: Önce sayıların toplamını bulup, ardından özdeşlik yardımıyla kareler toplamına geçmek gerekir.
  • Neden Yanlış: (a+b)^2 ifadesi a^2+b^2 ifadesine eşit değildir, arada 2ab terimi vardır.

Bu çözüm yoluyla ilgili aklına takılan veya benzer bir örnek çözmemi istediğin bir nokta var mı?