Aşağıda görselde yer alan 1, 2, 4 ve 5. soruların ayrıntılı ve adım adım çözümleri yer almaktadır.
1. Soru Çözümü (ÖSYM - 2024 TYT)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Köklü sayılarda sadeleştirme: \sqrt{A^2 \cdot B} = A\sqrt{B}
- Bir kesrin tam sayı olması için payın, paydaya tam bölünmesi gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a Sayısını Kök Dışına Çıkarma
a = \sqrt{720} sayısını çarpanlarına ayıralım:
720 = 144 \cdot 5 = 12^2 \cdot 5 \implies a = 12\sqrt{5}
Adım 2 — Seçeneklerdeki b Değerlerini İnceleme
\frac{a}{b} = \frac{12\sqrt{5}}{b} ifadesinin tam sayı olması için b sayısının \sqrt{5}'li bir terim içermesi ve katsayısının 12’yi tam bölmesi gerekir:
- A) b = \sqrt{5} \implies \frac{12\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 12 \in \mathbb{Z} (Tam sayıdır)
- B) b = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \implies \frac{12\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = 6 \in \mathbb{Z} (Tam sayıdır)
- C) b = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \implies \frac{12\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = 4 \in \mathbb{Z} (Tam sayıdır)
- D) b = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} \implies \frac{12\sqrt{5}}{2\sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \notin \mathbb{Z} (İrrasyoneldir, tam sayı olamaz)
- E) b = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \implies \frac{12\sqrt{5}}{4\sqrt{5}} = 3 \in \mathbb{Z} (Tam sayıdır)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D — \sqrt{60}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2. Soru Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Derecesi çift olan köklü ifadelerin gerçek sayı (reel sayı) belirtebilmesi için kök içinin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir:
\sqrt[2n]{f(x)} \in \mathbb{R} \iff f(x) \ge 0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kök İçlerinin Tanım Aralıklarını Belirleme
İfadedeki kök dereceleri 4 ve 6 (çift) olduğundan her iki kök içi de negatif olamaz:
5 - x \ge 0 \implies x \le 5
x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2
Adım 2 — Ortak Çözüm Kümesini Bulma
Her iki eşitsizliği birleştirdiğimizde:
2 \le x \le 5
Bu aralıktaki tam sayılar: 2, 3, 4, 5 olmak üzere toplam 4 tanedir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D — 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
4. Soru Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Ondalık sayıların üslü kuvvetleri: \sqrt[n]{a^n} = a \quad (a > 0)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kök İçlerindeki Sayıları Üslü Olarak Yazma
- 0{,}000064 = \frac{64}{10^6} = \left(\frac{2}{10}\right)^6 = (0{,}2)^6 \implies \sqrt[6]{0{,}000064} = 0{,}2
- 0{,}0081 = \frac{81}{10^4} = \left(\frac{3}{10}\right)^4 = (0{,}3)^4 \implies \sqrt[4]{0{,}0081} = 0{,}3
- 0{,}00032 = \frac{32}{10^5} = \left(\frac{2}{10}\right)^5 = (0{,}2)^5 \implies \sqrt[5]{0{,}00032} = 0{,}2
Adım 2 — İşlemi Sonuçlandırma
Bulunan değerleri kesirde yerine yazalım:
\frac{0{,}2 + 0{,}3}{0{,}2} = \frac{0{,}5}{0{,}2} = \frac{5}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D — \frac{5}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
5. Soru Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir p asal sayısının p^k kuvvetinin pozitif bölenleri: 1, p, p^2, \dots, p^k şeklindedir.
- Bu bölenlerin çarpımı:
\boxed{p^k} = 1 \cdot p^1 \cdot p^2 \cdots p^k = p^{1 + 2 + \dots + k} = p^{\frac{k(k+1)}{2}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \boxed{p^4} İfadesini Hesaplama ve p Değerini Bulma
p^4 sayısının pozitif bölenleri 1, p, p^2, p^3, p^4 olup çarpımları:
\boxed{p^4} = p^{0+1+2+3+4} = p^{10}
Verilen denklemde yerine yazalım:
\sqrt{\boxed{p^4}} = \sqrt{p^{10}} = p^5
p^5 = 32 = 2^5 \implies p = 2
Adım 2 — İstenen \sqrt[3]{\boxed{p^2}} Değerini Hesaplama
p = 2 için \boxed{p^2} = \boxed{2^2} ifadesinin bölenleri 1, 2, 4 olup çarpımları:
\boxed{p^2} = 1 \cdot p \cdot p^2 = p^3
Küp kökünü aldığımızda:
\sqrt[3]{\boxed{p^2}} = \sqrt[3]{p^3} = p = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A — 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu sorulardan herhangi birinde aklına takılan veya farklı bir yöntemle incelemek istediğin bir adım var mı?
