Aşağıda verilen sayı grubuna a pozitif tam sayısı eklendiğinde oluşan yeni veri grubunun aritmetik ortalaması, b pozitif tam sayısı eklendiğinde oluşan yeni veri grubunun aritmetik ortalamasından 1 fazla oluyor.
5, 9, 12, 21, 27
a ve b sayıları bu veri grubuna ayrı ayrı eklendiğinde oluşan iki veri grubunun medyanı bir tam sayı oluyor.
Buna göre, a + b toplamının değeri,
I. 20
II. 26
III. 30
sayılarından hangileri olabilir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) I ve III
E) II ve III
Veri Grubuna Eklenen a ve b Sayıları ile Medyan ve Ortalama İlişkisi
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Aritmetik Ortalama: \text{Ortalama} = \frac{\text{Terimlerin Toplamı}}{\text{Terim Sayısı}}
- Medyan (Ortanca): Küçükten büyüğe sıralanmış bir veri grubunda; terim sayısı (n) çift ise medyan, ortadaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır:\text{Medyan} = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Aritmetik Ortalama Farkından a ve b Arasındaki Bağıntıyı Bulma
Verilen grubun elemanları: 5, 9, 12, 21, 27
Elemanların toplamı:
5 + 9 + 12 + 21 + 27 = 74
a sayısı eklendiğinde 6 elemanlı grubun ortalaması \frac{74 + a}{6}, b sayısı eklendiğinde ise \frac{74 + b}{6} olur.
Ortalamalar farkı 1 olduğuna göre:
\frac{74 + a}{6} - \frac{74 + b}{6} = 1
\frac{a - b}{6} = 1 \implies a - b = 6 \implies a = b + 6
Adım 2 — Medyanın Tam Sayı Olma Şartını İnceleme
6 elemanlı bir grupta medyan, küçükten büyüğe sıralandığında 3. ve 4. elemanların toplamının yarısıdır:
\text{Medyan} = \frac{3.\text{ terim} + 4.\text{ terim}}{2}
Eklenen x \in \{a, b\} pozitif tam sayısının konumuna göre durumları inceleyelim:
- x \le 9 ise: Sıralama x, 5, 9, 12, 21, 27 şeklinde olur. 3. terim 9, 4. terim 12 olur.\text{Medyan} = \frac{9 + 12}{2} = 10{,}5 \quad (\text{Tam sayı değil})
- 9 < x < 21 ise: Sıralamada 3. ve 4. terimler 12 ve x olur.\text{Medyan} = \frac{12 + x}{2} = 6 + \frac{x}{2}Bu ifadenin bir tam sayı olması için x değerinin çift tam sayı olması gerekir.
Dolayısıyla x sayısının alabileceği değerler:x \in \{10, 12, 14, 16, 18, 20\} - x \ge 21 ise: Sıralamada 3. terim 12, 4. terim 21 olur.\text{Medyan} = \frac{12 + 21}{2} = 16{,}5 \quad (\text{Tam sayı değil})
Buradan a ve b sayılarının kümesi: \{10, 12, 14, 16, 18, 20\} olmalıdır.
Adım 3 — a + b Toplamının Alabileceği Değerleri Belirleme
a = b + 6 eşitliğini sağlayan (b, a) ikililerini seçelim:
- b = 10 için a = 16 \implies a + b = 10 + 16 = 26
- b = 12 için a = 18 \implies a + b = 12 + 18 = 30
- b = 14 için a = 20 \implies a + b = 14 + 20 = 34
Verilen öncüller incelendiğinde:
- I. 20: Alınamaz.
- II. 26: b = 10, a = 16 için sağlanır.
- III. 30: b = 12, a = 18 için sağlanır.
Dolayısıyla a + b toplamı II ve III olabilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) II ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çift Sayıda Terimi Olan Veri Grubunda Medyan
- Tanım: Terim sayısı çift olan sıralı dizilerde tam ortadaki iki elemanın aritmetik ortalaması alınır.
- Bu problemde: 6 elemanlı dizide medyanın tam sayı olabilmesi için ortadaki 12 sayısı ile eklenen sayının toplamının çift, yani eklenen sayının çift olması gerektiği kuralı uygulandı.
2. Aritmetik Ortalama Değişimi
- Tanım: Veri grubuna yeni bir eleman eklendiğinde toplam eleman sayısına bölünerek yeni ortalama bulunur.
- Bu problemde: İki grubun eleman sayıları eşit (6) olduğundan, ortalamalar arasındaki 1 fark, sayılar arasındaki farkın 6 olduğunu doğrudan belirledi.
SIK YAPILAN HATALAR:
a ve b Sayılarının Tek Sayı Olabileceğini Varsaymak
- Yanlış: x = 11 veya x = 13 gibi tek sayılar eklemek.
- Doğru: \frac{12 + x}{2} ifadesi tek sayılar için buçuklu (11{,}5 veya 12{,}5) sonuç vereceğinden x yalnızca çift olmalıdır.
- Neden yanlış: Soru kökünde medyanın bir tam sayı olduğu belirtilmiştir.
Bu tip merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri sorularında medyanın değişimiyle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?