- a, b pozitif tamsayılardır.
ab
+3a =2b + 15
olduğuna göre, a +b toplamı kaçtır?
A) 9
B) 16
C) 20
D) 40
E) 45
a ve b Pozitif Tam Sayıları İçin a + b Toplamının Bulunması
KULLANILAN FORMÜL / YÖNTEM:
Bu tür sorularda temel strateji, değişkenleri bir araya getirerek denklemi çarpanlarına ayırmak veya bir değişkeni diğeri cinsinden ifade ederek tam sayı değerlerini denemek üzerine kuruludur. Kullanacağımız yöntem: Değişkenleri Gruplandırma ve Tam Sayı Bölünebilirliği.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemi Düzenleme ve Gruplandırma
Verilen denklem: ab + 3a = 2b + 15
Öncelikle b içeren terimleri bir tarafa, sabitleri ve sadece a içeren terimleri diğer tarafa toplayalım:
ab - 2b = 15 - 3a
Adım 2 — Ortak Paranteze Alma
Sol tarafı b ortak parantezine alalım:
b(a - 2) = 15 - 3a
Adım 3 — b Değişkenini Yalnız Bırakma
Her iki tarafı (a - 2) ifadesine bölelim:
b = \frac{15 - 3a}{a - 2}
Adım 4 — Polinom Bölmesi ile İfadeyi Sadeleştirme
b değerinin bir tam sayı olması gerektiği için payı paydaya bölelim:
15 - 3a = -3(a - 2) + 9
Bu durumda ifademiz şuna dönüşür:
b = \frac{-3(a - 2) + 9}{a - 2} = -3 + \frac{9}{a - 2}
Adım 5 — Tam Sayı Şartını Uygulama
b bir pozitif tam sayı olduğuna göre, (a - 2) ifadesi 9 sayısının bir tam böleni olmalıdır. 9’un pozitif bölenleri: \{1, 3, 9\}'dur.
- Durum 1: a - 2 = 1 ise a = 3 olur.
b = -3 + \frac{9}{1} = 6 (Pozitif tam sayı, uygun)
a + b = 3 + 6 = 9 (Şıklarda mevcut) - Durum 2: a - 2 = 3 ise a = 5 olur.
b = -3 + \frac{9}{3} = 0 (b pozitif tam sayı olmalıydı, 0 pozitif değildir. Uygun değil) - Durum 3: a - 2 = 9 ise a = 11 olur.
b = -3 + \frac{9}{9} = -2 (b pozitif olmalıydı. Uygun değil)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Pozitif Tam Sayılar
- Tanım: 1, 2, 3, ... şeklinde devam eden sayılar kümesidir.
- Bu problemde: b=0 ve b=-2 sonuçlarını elememizin sebebi, sorunun başında a ve b’nin pozitif tam sayı olarak tanımlanmasıdır.
2. Çarpanlara Ayırma
- Tanım: Bir ifadeyi daha basit bileşenlerin çarpımı şeklinde yazmaktır.
- Bu problemde: b(a-2) şeklinde gruplandırma yaparak çözüm yolunu kısalttık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sıfırı Pozitif Saymak
- Yanlış: b=0 değerini çözüm olarak kabul etmek.
- Doğru: 0 nötr bir sayıdır, pozitif değildir.
- Neden Yanlış: Soruda belirtilen “pozitif tam sayı” şartı ihlal edilir.
Deneme Yanılma Yöntemi
- Yanlış: Denklemde rastgele sayılar vererek sonucu bulmaya çalışmak.
- Doğru: Değişkeni yalnız bırakıp bölenleri üzerinden gitmek.
- Neden Yanlış: Büyük sayılarda zaman kaybına ve olası çözümleri kaçırmaya neden olur.
Bu sorudaki gibi “a ve b pozitif tamsayılardır” ifadesiyle başlayan farklı bir çarpanlara ayırma sorusu daha çözmemi ister misin?
adım 4ü anlamadım
Adım 4: Polinom Bölmesi ve İfadenin Parçalanması
Anlamadığın bu adım, karmaşık görünen bir rasyonel ifadeyi tam sayı olan ve olmayan kısımlara ayırmak için kullanılan en garantili yöntemdir. Gel beraber bu adımı daha basit bir şekilde parçalayalım:
[KULLANILAN MANTIĞIN ÖZÜ:]
Elimizde b = \frac{15 - 3a}{a - 2} ifadesi var. Paydaki a’lı terimi yok ederek b’nin hangi durumlarda tam sayı olacağını görmek istiyoruz.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 4.1 — Payı Paydaya Benzetme
Paydada (a - 2) var. Paydaki -3a teriminden kurtulmak için, payda kısmını -3 ile çarparsak ne elde ederiz bakalım:
-3 \times (a - 2) = -3a + 6
Adım 4.2 — Denklemi Dengeleme
Bizim payımızda -3a + 15 var. Yukarıda bulduğumuz -3a + 6 ifadesine kaç eklersek 15 eder?
6 + \mathbf{9} = 15
Yani 15 - 3a ifadesini şu şekilde yazabiliriz: -3(a - 2) + 9
Adım 4.3 — İfadeyi Ayrı Paydalarda Yazma
Şimdi bu yeni halini denklemde yerine koyalım:
b = \frac{-3(a - 2) + 9}{a - 2}
Bu kesri iki parça halinde yazarsak:
b = \frac{-3(a - 2)}{a - 2} + \frac{9}{a - 2}
Burada (a - 2)'ler birbirini götürür ve geriye şu sade hal kalır:
b = -3 + \frac{9}{a - 2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[SONUÇ:] Artık b’nin tam sayı olması için sadece 9’un (a-2)'ye tam bölünmesi gerektiğini net bir şekilde görebiliyoruz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAM:]
1. Tam Sayılı Kesre Dönüştürme
- [Tanım:] Bir bileşik kesri (payın derecesi paydanınkine eşit veya büyükse), bir tam sayı ve bir basit kesrin toplamı şeklinde yazmaktır.
- [Bu problemde:] a değişkenini pay kısmından yok ederek, sadece sabit bir sayının (9) bölünebilirliğine odaklanmamızı sağladı.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Yanlış Sadeleştirme
- [Yanlış:] \frac{15 - 3a}{a - 2} ifadesinde a’ları direkt sadeleştirmek.
- [Doğru:] Arada toplama/çıkarma varken terimler tek tek sadeleşmez; tüm payın ortak paranteze alınması gerekir.
Bu bölme işlemini (payı paydaya benzetme mantığını) bir örnek üzerinde daha beraber yapalım mı, ne dersin?